構(gòu)造法與放縮法在不等式證明中的運(yùn)用-閱讀頁
2024-10-28 03:31本頁面
【正文】 運(yùn)用放縮法前先要觀察目標(biāo)式子的符號。R+且abc=1求證111≤1 =+1+a+b1+b+c1+c+a證明：設(shè)a=x3,b=y3,c= x、y、z206。∴1+a+b=xyz+x3+y3∴x3+y3(x2y+xy2)=x2(xy)+y2(yx)=(xy)2(x+y)≥0 ∴x3+y3≥x2y+xy2∴1+a+b=xyz+x3+y3≥xyz+xy(x+y)=xy(x+y+z)∴1z1=≤xy(x+y+z)x+y+z1+a+byx11≤，≤ ∴+y+zx+y+z1+b+c1+c+a同理：由對稱性可得[評析]：本題運(yùn)用了排序不等式進(jìn)行放縮，后用對稱性?！郺0。2223833∴左邊=(a+b+c)22(ab+bc+ca)+abc23434 =92a(b+c)+bc(a)≥92a(3a)+(3a)2(a)2383341633=9+(3a)[(3a)(a)a]=9(3a)[a2=a+4]=9(a3+2a2a+12)83388=99393+a(a22a+1)=+a(a1)2≥2282893 ∴a2+b2+c2+abc≥22[評析]：本題運(yùn)用對稱性確定符號，在使用基本不等式可以避開討論。R+，p206。所謂的“放”即把A放大到C，再把C放大到B，反之，所謂的“縮”即由B縮到C，再把C縮到A。第五篇：放縮法與不等式的證明放縮法與不等式的證明我們知道，“放”和“縮”是證明不等式時(shí)最常用的推證技巧，但經(jīng)教學(xué)實(shí)踐告訴我們，這種技巧卻是不等式證明部分的一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)。本文以通過對幾道實(shí)例的分析，就證明不等式的過程中如何進(jìn)行“放”或“縮”作些淺談。m+am+bm+c解說：依題設(shè)知a+bc，因此證明的第一個(gè)目標(biāo)就是考慮將待證不等式的左端適當(dāng)ababa+b++=???① m+am+bm+a+bm+a+bm+a+b由于①式的分子、分母中都含有a+b，不便于利用條件a+bc，據(jù)此可考慮處理掉分子a+b(m+a+b)mm==1的a+b：????② m+a+bm+a+bm+a+b在利用條件a+bc和不等式的性質(zhì)便能達(dá)到“縮”的目的：11∵ a+bc0，∴ m+a+bm+c0，∴，又∵m0，m+a+bm+cmmmmm(m+c)mc11==∴，又∵1，m+a+bm+cm+a+bm+cm+cm+cm+cabc+于是。例2：對于一切大于1的自然數(shù)n，證明(1+)(1+)L(1+13151)2n12n+12解說：本題的常見證明方法是數(shù)學(xué)歸納法。如果能將每一個(gè)2k1因數(shù)按照某種規(guī)律縮小后能“交叉”約分的話，可望收到化繁為簡之效。L=312(n1)12n132本題是95年上海的一道高考題，本題通過對待證式子的變形，然后在假分?jǐn)?shù)的分子、分母上加上同一個(gè)常數(shù)，分?jǐn)?shù)的值縮小，以達(dá)到能夠約分的目的，進(jìn)而得到所證的結(jié)果。然而，對有些不等式而言，合適的“放”或“縮”的方式的獲得并非象上面兩個(gè)例子那樣順利。N)。=3(1++2+L+n1)=122228424121僅觀其表，會認(rèn)為無懈可擊。N)是否合理。我們再看下述放大方式：1111，=22k(2k+1)2k2k+1(2k+1)左邊11的積，利用它2k12k+1顯然，這種放大方式是行不通的，因?yàn)樗荒軡M足將左邊各項(xiàng)放大后求和的要求，必須對其作些改進(jìn)。經(jīng)嘗試可得： 4111111==()，于是(2k+1)24k2+4k+14k(k+1)4kk+1左邊41212***)]=(1)。該例題表明在放、縮方式合理的前提下，放、縮方式是否適度，事先難以預(yù)料的，但在證明過程中可以通過對放、縮情況的審視逐步作出調(diào)整，選擇適度的放縮方式改進(jìn)證明。R，a+b=1，求證：(a+12125)+(b+)2179。2a=2??????????????② aab+11179。失敗的根源在于②、③中的21等號無法取得。2+2=8，由8次縮小都必須保證等號成立的條件得到滿足。121111)+(b+)2179。[1+]2= a+b22ab2ab22()21212111ab1++)179。2(a+)(b+)=2(ab+abababbaab證法1：(a+119491159=2[(ab+)+(+4)]179。2(1+154ab)9179。
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