利用放縮法證明數(shù)列型不等式壓軸題(編輯修改稿)
2025-04-20 12:45 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 在式子的某一部分用二項(xiàng)式定理放縮。例6已知數(shù)列滿足，（）．（Ⅰ）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)；（Ⅱ）如果時(shí)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，試求出，并證明當(dāng)時(shí)，有．21世紀(jì)教育網(wǎng) 略解： （）， 則． ，當(dāng)時(shí)，則． ，則．因此， ． 反思：為什么會(huì)想到將放縮成？聯(lián)想到，因?yàn)橐C明，而是一個(gè)數(shù)列前項(xiàng)的和，最后通過放縮很可能變成的形式，而應(yīng)是由放縮后裂項(xiàng)而成，，此時(shí)剛好得到，接下來就要處理，想到用二項(xiàng)式定理。（2）完全二項(xiàng)式定理放縮法：整個(gè)式子的證明主要借助于二項(xiàng)式定理。例7設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意的，都有.(I)求的值；（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（III）證明：。略解：（I）（II），；證明（III），令，則有，從而，即。點(diǎn)評(píng)：利用二項(xiàng)式定理結(jié)合放縮法證明不等式時(shí)，一定要緊密結(jié)合二項(xiàng)式展開式的特點(diǎn)，聯(lián)系需證不等式的結(jié)構(gòu)，通過化簡(jiǎn)、變形、換元等手段使問題得以解決。比較放縮法：比較法與放縮法的結(jié)合，先進(jìn)行比較（作差或作商），再進(jìn)行放縮。例8在單調(diào)遞增數(shù)列中，，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，．（I）分別計(jì)算，和，的值；（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（將用表示）；（III）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：，． 略解：（I）（II）得，，． 證明：（III）由（II），得．顯然，； 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；
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