不等式放縮技巧十法-wenkub.com
2025-06-21 19:24 本頁面
【正文】 （每一項都小于1）而再證即，則需要歸納出條件n≥4.(前4項驗證即可)已知an=n ，求證：＜3．證明：=＜1＋ ＜１＋==1＋ (－) =1＋1＋－－＜2＋＜3．本題先采用減小分母的兩次放縮，再裂項，最后又放縮，有的放矢，直達目標.放大或縮小“因式”；例已知數(shù)列滿足求證：證明 本題通過對因式放大，而得到一個容易求和的式子，最終得出證明.【評注】從上述探索放縮證明技巧過程易于看到：探索的方法與手段多種多樣，關鍵是把握條件與結論的結構特征之間的密切聯(lián)系！從此可看到抽象化具體的魅力。 探索1 著眼于通項特征，結合求證式特點，嘗試進行遞推放縮： 即?！纠?4】已知數(shù)列的首項，．（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）證明：對任意的，；（Ⅲ）證明：．【解析】（Ⅰ）．（Ⅱ）提供如下兩種思路：思路1 觀察式子右邊特征，按為元進行配方，確定其最大值。（Ⅰ）略，只證（Ⅱ）：考慮試題的編擬初衷，是為了考查數(shù)學歸納法，于是借鑒詹森不等式的證明思路有：法1（用數(shù)學歸納法）（i）當n=1時，由（Ⅰ）知命題成立.（ii）假定當時命題成立，即若正數(shù)，則當時，若正數(shù)（*）為利用歸納假設，將（*）式左邊均分成前后兩段：令則為正數(shù)，且由歸納假定知 （1）同理，由得（2）綜合（1）（2）兩式即當時命題也成立. 根據(jù)（i）、（ii）可知對一切正整數(shù)n命題成立.法2 構造函數(shù)利用（Ⅰ）知，當對任意② （②式是比①式更強的結果）. 下面用數(shù)學歸納法證明結論.（i）當n=1時，由（I）知命題成立.（ii）設當n=k時命題成立，即若正數(shù) 對（*）式的連續(xù)兩項進行兩兩結合變成項后使用歸納假設，并充分利用②式有由歸納法假設 得 即當時命題也成立. 所以對一切正整數(shù)n命題成立.【評注】（1）式②也可以直接使用函數(shù)下凸用（Ⅰ）中結論得到；（2）為利用歸納假設，也可對（*）式進行對應結合：而變成項；（3）本題用凸函數(shù)知識分析如下：先介紹詹森（jensen）不等式：若為上的下凸函數(shù)，則對任意，有 特別地，若，則有若為上凸函數(shù)則改“”為“”。故2176。1－（）……3176。n！，只要證n206。a2n！ [解析]：（1）將條件變?yōu)椋?－＝，因此｛1－｝為一個等比數(shù)列，其首項為1－＝，公比，從而1－＝，據(jù)此得an＝（n179。七 轉化為加強命題放縮如上述例10第問所證不等式右邊為常數(shù)，難以直接使用數(shù)學歸納法，我們可以通過從特值入手進行歸納探索、或運用逆向思維探索轉化為證明其加強命題：再用數(shù)學歸納法證明此加強命題，就容易多了。 當時在遞增，故 對(II)有，構造函數(shù)它在上是增函數(shù)
范文總結相關推薦
鄂ICP備17016276號-1