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不等式放縮技巧十法-wenkub.com

2025-06-21 19:24 本頁面
   

【正文】 (每一項都小于1)而再證即,則需要歸納出條件n≥4.(前4項驗證即可)已知an=n ,求證:<3.證明:=<1+ <1+==1+ (-) =1+1+--<2+<3.本題先采用減小分母的兩次放縮,再裂項,最后又放縮,有的放矢,直達目標.放大或縮小“因式”;例已知數(shù)列滿足求證:證明 本題通過對因式放大,而得到一個容易求和的式子,最終得出證明.【評注】從上述探索放縮證明技巧過程易于看到:探索的方法與手段多種多樣,關鍵是把握條件與結論的結構特征之間的密切聯(lián)系!從此可看到抽象化具體的魅力。 探索1 著眼于通項特征,結合求證式特點,嘗試進行遞推放縮: 即?!纠?4】已知數(shù)列的首項,.(Ⅰ)求的通項公式;(Ⅱ)證明:對任意的,;(Ⅲ)證明:.【解析】(Ⅰ).(Ⅱ)提供如下兩種思路:思路1 觀察式子右邊特征,按為元進行配方,確定其最大值。(Ⅰ)略,只證(Ⅱ):考慮試題的編擬初衷,是為了考查數(shù)學歸納法,于是借鑒詹森不等式的證明思路有:法1(用數(shù)學歸納法)(i)當n=1時,由(Ⅰ)知命題成立.(ii)假定當時命題成立,即若正數(shù),則當時,若正數(shù)(*)為利用歸納假設,將(*)式左邊均分成前后兩段:令則為正數(shù),且由歸納假定知 (1)同理,由得(2)綜合(1)(2)兩式即當時命題也成立. 根據(jù)(i)、(ii)可知對一切正整數(shù)n命題成立.法2 構造函數(shù)利用(Ⅰ)知,當對任意② (②式是比①式更強的結果). 下面用數(shù)學歸納法證明結論.(i)當n=1時,由(I)知命題成立.(ii)設當n=k時命題成立,即若正數(shù) 對(*)式的連續(xù)兩項進行兩兩結合變成項后使用歸納假設,并充分利用②式有由歸納法假設 得 即當時命題也成立. 所以對一切正整數(shù)n命題成立.【評注】(1)式②也可以直接使用函數(shù)下凸用(Ⅰ)中結論得到;(2)為利用歸納假設,也可對(*)式進行對應結合:而變成項;(3)本題用凸函數(shù)知識分析如下:先介紹詹森(jensen)不等式:若為上的下凸函數(shù),則對任意,有 特別地,若,則有若為上凸函數(shù)則改“”為“”。故2176。1-()……3176。n!,只要證n206。a2n! [解析]:(1)將條件變?yōu)椋?-=,因此{1-}為一個等比數(shù)列,其首項為1-=,公比,從而1-=,據(jù)此得an=(n179。七 轉化為加強命題放縮如上述例10第問所證不等式右邊為常數(shù),難以直接使用數(shù)學歸納法,我們可以通過從特值入手進行歸納探索、或運用逆向思維探索轉化為證明其加強命題:再用數(shù)學歸納法證明此加強命題,就容易多了。 當時在遞增,故 對(II)有,構造函數(shù)它在上是增函數(shù)
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