不等式放縮技巧十法(更新版)
【正文】 (Ⅲ) 基本思路：尋求合適的放縮途徑。九. 借助數(shù)學(xué)歸納法例22（Ⅰ）設(shè)函數(shù)，求的最小值；（Ⅱ）設(shè)正數(shù)滿足，求證：[解析] 這道高考題為05年全國卷Ⅰ第22題，內(nèi)蘊(yùn)豐富，有著深厚的科學(xué)背景：直接與高等數(shù)學(xué)的凸函數(shù)有關(guān)！更為深層的是信息科學(xué)中有關(guān)熵的問題。N*，有179。得，a1例17 設(shè)，求證.[簡析] 令，則，應(yīng)用二項(xiàng)式定理進(jìn)行部分放縮有，注意到，則（證明從略），因此.六 遞推放縮遞推放縮的典型例子，可參考上述例11中利用部分放縮所得結(jié)論 進(jìn)行遞推放縮來證明，同理例7中所得和、例8中、 例13（Ⅰ）之法2所得都是進(jìn)行遞推放縮的關(guān)鍵式。 注：上述不等式可加強(qiáng)為簡證如下： 利用二項(xiàng)展開式進(jìn)行部分放縮： 只取前兩項(xiàng)有對(duì)通項(xiàng)作如下放縮： 故有二 部分放縮例10 設(shè),求證：[解析] 又（只將其中一個(gè)變成，進(jìn)行部分放縮），于是【例11】 設(shè)數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)證明對(duì)所有 有：；.【解析】 用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)時(shí)顯然成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)成立即，則當(dāng)時(shí)，成立。如理科題的主干是：證明(可考慮用貝努利不等式的特例) 例6 已知函數(shù)求證：對(duì)任意且恒成立。 第六章 不等式第二節(jié) 不等式放縮技巧十法證明不等式，其基本方法參閱數(shù)學(xué)是怎樣學(xué)好的(下冊(cè)): 不等式的放縮技巧。 特別提醒:上述題目可是我們課本上的原題啊!只是我們做了少許的推廣而已!2．利用有用結(jié)論例5 求證簡析 本題可以利用的有用結(jié)論主要有：法1 利用假分?jǐn)?shù)的一個(gè)性質(zhì)可得 即 法2 利用貝努利不等式的一個(gè)特例(此處)得 注：例5是1985年上海高考試題，以此題為主干添“枝”加“葉”而編擬成1998年全國高考文科試題；進(jìn)行升維處理并加參數(shù)而成理科姊妹題。以代入（）式得此式對(duì)一切正整數(shù)都成立，即對(duì)一切偶數(shù)有，又因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，所以對(duì)一切正整數(shù)有。五 換元放縮例16 求證[簡析] 令，這里則有，從而有注：通過換元化為冪的形式，為成功運(yùn)用二項(xiàng)展開式進(jìn)行部分放縮起到了關(guān)鍵性的作用。（2）證：據(jù)1176。顯然，左端每個(gè)因式都是正數(shù)，先證明一個(gè)加強(qiáng)不等式：對(duì)每個(gè)n206。八. 分項(xiàng)討論例21 已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足 （Ⅰ）寫出數(shù)列的前3項(xiàng)；（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）證明：對(duì)任意的整數(shù)，有.[簡析] （Ⅰ）略，（Ⅱ） ；（Ⅲ）由于通項(xiàng)中含有，很難直接放縮，考慮分項(xiàng)討論：當(dāng)且為奇數(shù)時(shí) （減項(xiàng)放縮），于是, ①當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)②當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)（添項(xiàng)放縮）由①知由①②得證。如下證明是否正確，請(qǐng)分析：易于證明對(duì)任意成立；于是【注】上述證明是錯(cuò)誤的！因?yàn)椋菏沁f增的，不能逐步“縮小”到所需要的
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