不等式放縮技巧十法-展示頁
2025-07-03 19:24本頁面
【正文】 利用二項展開式進(jìn)行部分放縮： 只取前兩項有對通項作如下放縮： 故有二 部分放縮例10 設(shè),求證：[解析] 又（只將其中一個變成，進(jìn)行部分放縮），于是【例11】 設(shè)數(shù)列滿足，當(dāng)時證明對所有 有：；.【解析】 用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)時顯然成立，假設(shè)當(dāng)時成立即，則當(dāng)時，成立。 （Ⅰ）求函數(shù)最小值；（Ⅱ）求證：對于任意，有【解析】（Ⅰ）1；（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得，對x－1有，利用此結(jié)論進(jìn)行巧妙賦值：取，則有即對于任意，有例9 設(shè)，求證：數(shù)列單調(diào)遞增且[解析] 引入一個結(jié)論：若則（可通過構(gòu)造一個等比數(shù)列求和放縮來證明，略）整理上式得（），以代入（）式得即單調(diào)遞增。設(shè)正數(shù)數(shù)列滿足：求證【簡析】 當(dāng)時，即 于是當(dāng)時有 注：①本題涉及的和式為調(diào)和級數(shù)，是發(fā)散的，不能求和；但是可以利用所給題設(shè)結(jié)論來進(jìn)行有效地放縮；②引入有用結(jié)論在解題中即時應(yīng)用，是近年來高考創(chuàng)新型試題的一個顯著特點(diǎn)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與創(chuàng)新意識。于是， 即【注】：題目所給條件（）為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當(dāng)然，本題還可用結(jié)論來放縮： ，即【例8】已知不等式。如理科題的主干是：證明(可考慮用貝努利不等式的特例) 例6 已知函數(shù)求證：對任意且恒成立。 上述解題過程貌似完美，其實細(xì)細(xì)推敲，是大有問題的：取“＝”的條件是，即必須有，即只有p=q時才成立！那么，呢？其實例6的方法照樣可用，只需做稍稍變形轉(zhuǎn)化： 則有 于是，當(dāng)且僅當(dāng) 結(jié)合其結(jié)構(gòu)特征，還可構(gòu)造向量求解：設(shè)，則由立刻得解： 且取“＝”的充要條件是：。本題還可以推廣為： 若， 試求的最大值。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下十種：一 利用重要不等式放縮1. 均值不等式法例1 設(shè)求證解析 此數(shù)列的通項為，即 注：①應(yīng)注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過“度”了?、诟鶕?jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來選取所需要的重要不等式，這里 其中，等的各式及其變式公式均可供選用。 第六章 不等式第二節(jié) 不等式放縮技巧十法證明不等式，其基本方法參閱數(shù)學(xué)是怎樣學(xué)好的(下冊): 不等式的放縮技巧。證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。 例2
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