放縮法與不等式的證明-展示頁
2024-10-28 03:46本頁面
【正文】 ，分?jǐn)?shù)的值縮小，以達(dá)到能夠約分的目的，進(jìn)而得到所證的結(jié)果。如果能將每一個(gè)2k1因數(shù)按照某種規(guī)律縮小后能“交叉”約分的話，可望收到化繁為簡之效。例2：對于一切大于1的自然數(shù)n，證明(1+)(1+)L(1+13151)2n12n+12解說：本題的常見證明方法是數(shù)學(xué)歸納法。m+am+bm+c解說：依題設(shè)知a+bc，因此證明的第一個(gè)目標(biāo)就是考慮將待證不等式的左端適當(dāng)ababa+b++=???① m+am+bm+a+bm+a+bm+a+b由于①式的分子、分母中都含有a+b，不便于利用條件a+bc，據(jù)此可考慮處理掉分子a+b(m+a+b)mm==1的a+b：????② m+a+bm+a+bm+a+b在利用條件a+bc和不等式的性質(zhì)便能達(dá)到“縮”的目的：11∵ a+bc0，∴ m+a+bm+c0，∴，又∵m0，m+a+bm+cmmmmm(m+c)mc11==∴，又∵1，m+a+bm+cm+a+bm+cm+cm+cm+cabc+于是。本文以通過對幾道實(shí)例的分析，就證明不等式的過程中如何進(jìn)行“放”或“縮”作些淺談。第一篇：放縮法與不等式的證明放縮法與不等式的證明我們知道，“放”和“縮”是證明不等式時(shí)最常用的推證技巧，但經(jīng)教學(xué)實(shí)踐告訴我們，這種技巧卻是不等式證明部分的一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)。學(xué)生在證明不等式時(shí)，常因忽視“放”或“縮”的合理性或把握不住“放”或“縮”的“度”而導(dǎo)致解題失誤甚至思維擱淺。例1設(shè)△ABC的三邊長為a、b、c，且m為正數(shù)，求證：abc+。m+am+bm+c縮小，以出現(xiàn)a+b：左=本題是高中數(shù)學(xué)教材第二冊（上）（人教版）中不等式證明中的一道習(xí)題，主要利用了三角形的兩邊之和大于第三邊和不等式的一些基本性質(zhì)來對分母進(jìn)行“放”或“縮”，以達(dá)到證明的目的。能否找到一種“放”或“縮”的方式直接證明呢？顯然，待證不等式等價(jià)于22232nL2212312n12n+1??????① 2①式的左端是形如2k（k=2，3，??，n）的n1個(gè)因數(shù)的乘積。注意到①式右端需要2n+1，因此，對左端每一個(gè)因數(shù)縮小后應(yīng)含有2k1，據(jù)此便不難找到可行的縮小方式：2k2k2k2k2k+12k+1，==2k12k12k12k12k2k1于是左22+123+12(n1)+12n+12n+12n+1。以上兩個(gè)例中的“放”或“縮”的方式都是通過對待證不等式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析才獲得的“放”或“縮”的方法。例3：求證：11111+++L+(n206。325272(2n+1)241（k=1，2，?，n）的n項(xiàng)之和，不便于與右2(2k+1)解說：不等式是左邊是形如邊直接比較，于是想到將左邊的每一項(xiàng)按照某種規(guī)律放大，求和后再與右邊比較，我們先看下列放大方式：11111111+++L++++L+325272(2n+1)22324252n+111111n=1[1(1)n]1。問題在于這里采用的放大方式11 2k+2(2k+1)2即(2k+1)22k+2(k206。通過驗(yàn)證k的前幾個(gè)特殊值可以發(fā)現(xiàn)，(2k+1)22k+2對k=1，2，3，4成立，但對k=5，6等不成立，其根源在于忽視了“當(dāng)k增大時(shí)，指數(shù)函數(shù)2k+2比冪函數(shù)(2k+1)2增大得快”這一基本事實(shí)。如果將左邊每一項(xiàng)放大后能出現(xiàn)一個(gè)常數(shù)與將左邊放大后就可“交叉”相消達(dá)到求和目的，基于這種想法，考慮放大方式：11111=()，(2k+1)2(2k1)(2k+1)22k12k+1左邊使每一項(xiàng)放大后出現(xiàn)因數(shù)1。nn+14n+14通過對放大方式的反復(fù)調(diào)整，終于成功了。+例4： 設(shè)a、b206。?????① ab2解說：如果直接運(yùn)用二元均值不等式縮小，即采用縮小方式a+11179。2b=2??????????????????③ bb2225知，②、③處的縮小量太大。注意到①是非嚴(yán)格不等式，其中等號成立的條件是a=b=，因此，每一2將有左179。抓住這一點(diǎn)不難獲得多種可行的縮小方式，組織多種證法。[(a+)+(b+)]2 ab2ab1a+b2111125=[(a+b)+]=(1+)2179。2(ab++2)證法2：(a+)+(b+)179。2(ab+)=2[(ab+)+]4ab4ab24ab4ab2179。2(1+215925159)=2(1+)=a+b222242對非嚴(yán)格不等式的證明，每一次的“放”或“縮”保證等號成立是一個(gè)基本的思考點(diǎn)，是放大或縮小的一個(gè)必要性要求，但它并不具有
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