不等式放縮技巧十法(文件)
【正文】 用數(shù)學(xué)歸納法推時(shí)的結(jié)論，僅用歸納假設(shè)及遞推式是難以證出的，因?yàn)槌霈F(xiàn)在分母上！可以逆向考慮：故將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明其加強(qiáng)命題：對(duì)一切正整數(shù)有（證略）例19 數(shù)列滿足證明[簡(jiǎn)析] 將問(wèn)題一般化：先證明其加強(qiáng)命題用數(shù)學(xué)歸納法，只考慮第二步： 因此對(duì)一切有 例20 已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝，且an＝（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)一切正整數(shù)n有a11）……1176?！璦n＝，為證a1N*時(shí)有……2176。（用數(shù)學(xué)歸納法，證略）利用3176。式成立，從而結(jié)論成立。由為下凸函數(shù)得 又，所以（4）本題可作推廣如下：若正數(shù)滿足，則簡(jiǎn)證：構(gòu)造函數(shù)，易得故十. 構(gòu)造輔助函數(shù)法【例23】已知= ,數(shù)列滿足（1）求在上的最大值和最小值。法1 由（Ⅰ）知，原不等式成立．思路2 將右邊看成是關(guān)于x的函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)研究其最值來(lái)解決：法2 設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值．原不等式成立．（Ⅲ）思路1 考慮本題是遞進(jìn)式設(shè)問(wèn)，利用（Ⅱ）的結(jié)論來(lái)探究解題思路：由（Ⅱ）知，對(duì)任意的，有．取，則．原不等式成立．【注】本解法的著眼點(diǎn)是對(duì)上述不等式中的x進(jìn)行巧妙賦值，當(dāng)然，賦值方法不止一種，如：還可令，得 思路2 所證不等式是與正整數(shù)n有關(guān)的命題，能否直接用數(shù)學(xué)歸納法給予證明？嘗試： （1）當(dāng)時(shí)，成立； （2）假設(shè)命題對(duì)成立，即則當(dāng)時(shí)，有 ，只要證明；即證，即證用二項(xiàng)式定理（展開式部分項(xiàng)）證明，再驗(yàn)證前幾項(xiàng)即可。于是由此遞推放縮式逐步放縮得 探索2 從求證式特征嘗試分析：結(jié)論式可作如下變形： 逆向思考，猜想應(yīng)有：（用數(shù)學(xué)歸納法證明，略）。 用放縮法證明不等式,綜合性強(qiáng),思維含量與跨度大, 以上方法不是截然分開的,往往需要根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征綜合使用這些方法. 以上所舉25道例題大多選自近些年來(lái)的高考試題、模擬題或競(jìng)賽中的容易題, 甚至是課本上例習(xí)題的加工題，不一定每一道題都是高考中所謂的難題, 所涉及的十種方法也僅僅是示范此類問(wèn)題的大致的思考與解決方向, 解決難度稍大的綜合題無(wú)疑需要綜合使用這些技巧,但是這些技巧也難以全面解決證明不等式的所有問(wèn)題, 如構(gòu)造輔助函數(shù)通過(guò)求導(dǎo)證明某些不等式的具體技巧, 將在下節(jié)講述. 22。有 嘗試證明 證法1（數(shù)學(xué)歸納法，略）； 法2 （用二項(xiàng)展開式部分項(xiàng)）：當(dāng)n≥2時(shí)2n=(1+1)n≥ 此題還可發(fā)現(xiàn)一些放縮方法，如：?？尚薷娜缦拢嚎紤]是某數(shù)列的前n項(xiàng)和，則，只要證明思路3 深入觀察所證不等式的結(jié)構(gòu)特征, 利用均值不等式可得如下妙證：
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