不等式放縮技巧十法-全文預(yù)覽
【正文】 由取倒數(shù)易得：，用n項(xiàng)的均值不等式：，【例25】已知函數(shù)f(x)=x21(x0)，設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)（xn,f(xn)）處的切線與x軸的交點(diǎn)為（xn+1,0）(n∈N*). (Ⅰ) 用xn表示xn+1；（Ⅱ）求使不等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立的充要條件，并說(shuō)明理由；（Ⅲ）若x1=2，求證：【解析】(Ⅰ) （Ⅱ）使不等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立的充要條件是x1≥1. (Ⅲ) 基本思路：尋求合適的放縮途徑。（3）判斷與的大小，并說(shuō)明理由.【解析】(1) 求導(dǎo)可得在上是增函數(shù),（2）（數(shù)學(xué)歸納法證明）①當(dāng)時(shí)，由已知成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即成立， 那么當(dāng)時(shí)，由（1）得， ， ，這就是說(shuō)時(shí)命題成立. 由①、②知，命題對(duì)于都成立 （3） 由, 構(gòu)造輔助函數(shù)，得， 當(dāng)時(shí)，故，所以0 得g(x)在是減函數(shù)， ∴g(x)g(0)=f(0)2=0，∴0,即0，得。九. 借助數(shù)學(xué)歸納法例22（Ⅰ）設(shè)函數(shù)，求的最小值；（Ⅱ）設(shè)正數(shù)滿足，求證：[解析] 這道高考題為05年全國(guó)卷Ⅰ第22題，內(nèi)蘊(yùn)豐富，有著深厚的科學(xué)背景：直接與高等數(shù)學(xué)的凸函數(shù)有關(guān)！更為深層的是信息科學(xué)中有關(guān)熵的問(wèn)題。1－（）＝1－＝1－。N*，有179。……an2得，a1……an2例17 設(shè)，求證.[簡(jiǎn)析] 令，則，應(yīng)用二項(xiàng)式定理進(jìn)行部分放縮有，注意到，則（證明從略），因此.六 遞推放縮遞推放縮的典型例子，可參考上述例11中利用部分放縮所得結(jié)論 進(jìn)行遞推放縮來(lái)證明，同理例7中所得和、例8中、 例13（Ⅰ）之法2所得都是進(jìn)行遞推放縮的關(guān)鍵式。[簡(jiǎn)析] 本題有多種放縮證明方法，這里我們對(duì)（Ⅰ）進(jìn)行減項(xiàng)放縮，有法1 用數(shù)學(xué)歸納法（只考慮第二步）；法2 則四 利用單調(diào)性放縮1. 構(gòu)造數(shù)列如對(duì)上述例1，令則，遞減，有，故再如例5，令則，即遞增，有，得證！2．構(gòu)造函數(shù)例14 已知函數(shù)的最大值不大于，又當(dāng)時(shí)（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)，證明[解析] （Ⅰ）=1 ；（Ⅱ）由得 且用數(shù)學(xué)歸納法（只看第二步）：在是增函數(shù)，則得例15 數(shù)列由下列條件確定：，．（I） 證明：對(duì)總有；(II) 證明：對(duì)總有[解析] 構(gòu)造函數(shù)易知在是增函數(shù)。 注：上述不等式可加強(qiáng)為簡(jiǎn)證如下： 利用二項(xiàng)展開式進(jìn)行部分放縮： 只取前兩項(xiàng)有對(duì)通項(xiàng)作如下放縮： 故有二 部分放縮例10 設(shè),求證：[解析] 又（只將其中一個(gè)變成，進(jìn)行部分放縮），于是【例11】 設(shè)數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)證明對(duì)所有 有：；.【解析】 用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)時(shí)顯然成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)成立即，則當(dāng)時(shí)，成立。設(shè)正數(shù)數(shù)列滿足：求證【簡(jiǎn)析
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