不等式放縮技巧十法(參考版)
2025-06-27 19:24本頁面
【正文】 用放縮法證明不等式,綜合性強,思維含量與跨度大, 以上方法不是截然分開的,往往需要根據所證不等式的結構特征綜合使用這些方法. 以上所舉25道例題大多選自近些年來的高考試題、模擬題或競賽中的容易題, 甚至是課本上例習題的加工題，不一定每一道題都是高考中所謂的難題, 所涉及的十種方法也僅僅是示范此類問題的大致的思考與解決方向, 解決難度稍大的綜合題無疑需要綜合使用這些技巧,但是這些技巧也難以全面解決證明不等式的所有問題, 如構造輔助函數通過求導證明某些不等式的具體技巧, 將在下節(jié)講述. 22。有 嘗試證明 證法1（數學歸納法，略）； 法2 （用二項展開式部分項）：當n≥2時2n=(1+1)n≥ 此題還可發(fā)現一些放縮方法，如：。于是由此遞推放縮式逐步放縮得 探索2 從求證式特征嘗試分析：結論式可作如下變形： 逆向思考，猜想應有：（用數學歸納法證明，略）?？尚薷娜缦拢嚎紤]是某數列的前n項和，則，只要證明思路3 深入觀察所證不等式的結構特征, 利用均值不等式可得如下妙證： 由取倒數易得：，用n項的均值不等式：，【例25】已知函數f(x)=x21(x0)，設曲線y=f(x)在點（xn,f(xn)）處的切線與x軸的交點為（xn+1,0）(n∈N*). (Ⅰ) 用xn表示xn+1；（Ⅱ）求使不等式對一切正整數n都成立的充要條件，并說明理由；（Ⅲ）若x1=2，求證：【解析】(Ⅰ) （Ⅱ）使不等式對一切正整數n都成立的充要條件是x1≥1. (Ⅲ) 基本思路：尋求合適的放縮途徑。法1 由（Ⅰ）知，原不等式成立．思路2 將右邊看成是關于x的函數，通過求導研究其最值來解決：法2 設，則，當時，；當時，當時，取得最大值．原不等式成立．（Ⅲ）思路1 考慮本題是遞進式設問，利用（Ⅱ）的結論來探究解題思路：由（Ⅱ）知，對任意的，有．取，則．原不等式成立．【注】本解法的著眼點是對上述不等式中的x進行巧妙賦值，當然，賦值方法不止一種，如：還可令，得 思路2 所證不等式是與正整數n有關的命題，能否直接用數學歸納法給予證明？嘗試： （1）當時，成立； （2）假設命題對成立，即則當時，有 ，只要證明；即證，即證用二項式定理（展開式部分項）證明，再驗證前幾項即可。（3）判斷與的大小，并說明理由.【解析】(1) 求導可得在上是增函數,（2）（數學歸納法證明）①當時，由已知成立；②假設當時命題成立，即成立， 那么當時，由（1）得， ， ，這就是說時命題成立. 由①
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