不等式放縮技巧十法(專業(yè)版)
【正文】 如下證明是否正確，請分析：易于證明對任意成立；于是【注】上述證明是錯誤的！因?yàn)椋菏沁f增的，不能逐步“縮小”到所需要的結(jié)論。顯然，左端每個因式都是正數(shù)，先證明一個加強(qiáng)不等式：對每個n206。五 換元放縮例16 求證[簡析] 令，這里則有，從而有注：通過換元化為冪的形式，為成功運(yùn)用二項(xiàng)展開式進(jìn)行部分放縮起到了關(guān)鍵性的作用。 特別提醒:上述題目可是我們課本上的原題啊!只是我們做了少許的推廣而已!2．利用有用結(jié)論例5 求證簡析 本題可以利用的有用結(jié)論主要有：法1 利用假分?jǐn)?shù)的一個性質(zhì)可得 即 法2 利用貝努利不等式的一個特例(此處)得 注：例5是1985年上海高考試題，以此題為主干添“枝”加“葉”而編擬成1998年全國高考文科試題；進(jìn)行升維處理并加參數(shù)而成理科姊妹題。如理科題的主干是：證明(可考慮用貝努利不等式的特例) 例6 已知函數(shù)求證：對任意且恒成立。例17 設(shè)，求證.[簡析] 令，則，應(yīng)用二項(xiàng)式定理進(jìn)行部分放縮有，注意到，則（證明從略），因此.六 遞推放縮遞推放縮的典型例子，可參考上述例11中利用部分放縮所得結(jié)論 進(jìn)行遞推放縮來證明，同理例7中所得和、例8中、 例13（Ⅰ）之法2所得都是進(jìn)行遞推放縮的關(guān)鍵式。N*，有179。可修改如下：考慮是某數(shù)列的前n項(xiàng)和，則，只要證明思路3 深入觀察所證不等式的結(jié)構(gòu)特征, 利用均值不等式可得如下妙證： 由取倒數(shù)易得：，用n項(xiàng)的均值不等式：，【例25】已知函數(shù)f(x)=x21(x0)，設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)（xn,f(xn)）處的切線與x軸的交點(diǎn)為（xn+1,0）(n∈N*). (Ⅰ) 用xn表示xn+1；（Ⅱ）求使不等式對一切正整數(shù)n都成立的充要條件，并說明理由；（Ⅲ）若x1=2，求證：【解析】(Ⅰ) （Ⅱ）使不等式對一切正整數(shù)n都成立的充要條件是x1≥1. (Ⅲ) 基本思路：尋求合適的放縮途徑。法1 由（Ⅰ）知，原不等式成立．思路2 將右邊看成是關(guān)于x的函數(shù)，通過求導(dǎo)研究其最值來解決：法2 設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，取得最大值．原不等式成立．（Ⅲ）思路1 考慮本題是遞進(jìn)式設(shè)問，利用（Ⅱ）的結(jié)論來探究解題思路：由（Ⅱ）知，對任意的，有．取，則．原不等式成立．【注】本解法的著眼點(diǎn)是對上述不等式中的x進(jìn)行巧妙賦值，當(dāng)然，賦值方法不止一種，如：還可令，得 思路2 所證不等式是與正整數(shù)n有關(guān)的命題，能否直接用數(shù)學(xué)歸納法給予證明？嘗試： （1）當(dāng)時，成立； （2）假設(shè)命題對成立，即則當(dāng)時，有 ，只要證明；即證，即證用二項(xiàng)式定理（展開式部分項(xiàng)）證明，再驗(yàn)證前
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