【正文】 N*)1+12+115232+......+n24(n206。7+L+11(2n1)(2n+1)2：n12n+122+32+......+n2n(n206。n+2（2）證明：1a1+1a+.......+111+2+1an+12：12+1+23n22+2+23+3+.......+2n+n2(n206。N*)例４.（２００２全國卷理２２題７題）第２問已知數(shù)已知數(shù)列列（（）{an}滿足an+1=an2nan+1,n=1,2,3.......當(dāng)a1179。237。3+...+n(n+1)p變式：(n206。2+2N*)an一．放縮法證明不等式的理論依據(jù)： １．不等式的傳遞性：２．同向不等式的可加性：３．同向的正數(shù)不等式的可乘性：二．常見的數(shù)列求和的方法及公式特點(diǎn)： １．等差數(shù)列的和。2)。是公差為1的等差數(shù)列，且an+1=nn238。N*； an{}（2）解關(guān)于數(shù)列n的不等式：an+1(sn+1+sn)4n8（3）記bn=2sn,Tn=331111Tn+++L+，證明：1 2b1b2b3bn{an}滿足：237。+2n+1(n2,n206。2n+2242。3n+1248。1++L+11246。1232。343180。2=n231。248。231。+3+L+345n+1n+2246。1+=ln 247。1232。++L+247。nn+1∴an1=n1222。252。f(0)=0222。(x)=11+x1=x1+x，當(dāng)1x0時(shí)，f39。2)n\229。5．已知數(shù)列{an}中an=iinnn21，求證：229。（3）120061a1+1a2+L+1a20061。N*證明：（1）對(duì)于n206。2)；212n+1nk!k(k1)(k2)nan=例3：已知：1(n206。1n+k163。N)234。1)Sn=++L+1n1+2（13++L+12n112n+1)=1+2（1312n+1)法2：數(shù)歸——加強(qiáng)命題：常用的放縮公式：1n(n+1)2n+n+11n+L+1n1n1n(n1)1n；n+n12nn+n+1；=nn+2n1；aba+mb+m(ba0,m0)1kk(k+1)(k1)1n+11k(k1)=249。2求證：（1）11+法1：數(shù)歸（兩邊都可以）法2：放縮裂項(xiàng) 法3：定積分放縮（2）22L+n206。231。所以：229。231。2n+1+=(4n23n)180。第三篇：放縮法證明數(shù)列不等式放縮法證明不等式設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和Sn=43an13180。間插入錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。(n＋2)＝錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，記公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值集合為錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。都是公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。所以當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）見解析解：（1）設(shè)等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為整數(shù)的正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)任意錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。再將上述不等式相加得： 錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值為錯(cuò)誤！未找到引用源。構(gòu)成數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。.（3）由（2）可知錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。而言，存在錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值.【答案】（1）不具有（2）見解析（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。是否具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。即錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。．（3）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為常數(shù)．（1）是否存在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。； 當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為奇數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，上式成立，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍；（3）分n是奇數(shù)、n是偶數(shù)兩種情況求出Tn，然后寫成分段函數(shù)的形式。；（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯(cuò)誤！未找到引用源。、錯(cuò)誤！未找到引用源。,錯(cuò)誤！未找到引用源。、錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值為錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用源。試求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。為等差數(shù)列；⑵ 設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，②式成立，即當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。即錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)于①只要錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。使得錯(cuò)誤！未找到引用源。（1）求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。記數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源?？赏茝V為：錯(cuò)誤！未找到引用源。還可放縮為：錯(cuò)誤！未找到引用源。不是等比數(shù)列；②錯(cuò)誤！未找到引用源。是以錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍.【答案】（1）①錯(cuò)誤！未找到引用源。是否為等比數(shù)列；②設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。成等比數(shù)列？若存在，給出錯(cuò)誤！未找到引用源。.（1）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和，且對(duì)任意錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。．（1）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。.綜合①②③得，錯(cuò)誤！未找到引用源。.（2）因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。故錯(cuò)誤！未找到引用源。.試題解析：（1）由已知得錯(cuò)誤！未找到引用源。則錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）對(duì)任意正整數(shù)，若，求證：；錯(cuò)誤！未找到引用源。.錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。定義錯(cuò)誤！未找到引用源。.對(duì)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。再將錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。即錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍．【答案】（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，求錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用源?；蝈e(cuò)誤！未找到引用源。即可猜想該等比數(shù)列的首項(xiàng)為錯(cuò)誤！未找到引用源。常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。等比”的形式④ 裂項(xiàng)相消：通項(xiàng)公式可拆成兩個(gè)相鄰項(xiàng)的差，且原數(shù)列的每一項(xiàng)裂項(xiàng)之后正負(fù)能夠相消，進(jìn)而在求和后式子中僅剩有限項(xiàng)（2）與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：① 在數(shù)列中，“求和看通項(xiàng)”，所以在放縮的過程中通常從數(shù)列的通項(xiàng)公式入手② 在放縮時(shí)要看好所證不等式中不等號(hào)的方向，這將決定對(duì)通項(xiàng)公式是放大還是縮小（應(yīng)與所證的不等號(hào)同方向）③ 在放縮時(shí)，對(duì)通項(xiàng)公式的變形要向可求和數(shù)列的通項(xiàng)公式靠攏，常見的是向等比數(shù)列與可裂項(xiàng)相消的數(shù)列進(jìn)行靠攏。的一次函數(shù)或常值函數(shù)）② 等比數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。間插入錯(cuò)誤！未找到引用源。的值；（2）若錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。其中n∈N*．（1）若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）若存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)一切n∈N*，有bn≤λ≤，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列．10．已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值集合；（3）記錯(cuò)誤！未找到引用源。均有錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。；（2）若錯(cuò)誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。．6．【江蘇省泰州中學(xué)2018屆高三上學(xué)期開學(xué)考試】已知兩個(gè)無窮數(shù)列分別滿足，其中（1）若數(shù)列（2）若數(shù)列①若數(shù)列②若數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和分別為的通項(xiàng)公式；，使得，稱數(shù)列.都為遞增數(shù)列，求數(shù)列滿足：存在唯一的正整數(shù)“墜點(diǎn)數(shù)列”，求 為“墜點(diǎn)數(shù)列”，數(shù)列為“墜點(diǎn)數(shù)列”.為“墜點(diǎn)數(shù)列”，是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求的最大值；若不存在，．【江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2017屆高三高考模擬一】已知數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。．5．【江蘇省啟東中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第一次月考】設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。使得對(duì)于任意錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。⑶錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。其中錯(cuò)誤！未找到引用源。成立？．【江蘇省常州市2018屆高三上學(xué)期武進(jìn)區(qū)高中數(shù)學(xué)期中試卷】在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數(shù)：錯(cuò)誤！未找到引用源。、規(guī)律歸納: 常見的放縮變形：（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。是否為等比數(shù)列；②設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。成等比數(shù)列？若存在，給出錯(cuò)誤！未找到引用源。.（1）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和，且對(duì)任意錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）設(shè)，求證：.類型二、與通項(xiàng)運(yùn)算相關(guān)的不等式 ！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。定義錯(cuò)誤！未找到引用源。的子集錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為常數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。注：此方法會(huì)存在風(fēng)險(xiǎn)，所猜出的等比數(shù)列未必能達(dá)到放縮效果，所以是否選擇利用等比數(shù)列進(jìn)行放縮，受數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)影響（4）與數(shù)列中的項(xiàng)相關(guān)的不等式問題：① 此類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對(duì)遞推公式進(jìn)行變形② 在有些關(guān)于項(xiàng)的不等式證明中，可向求和問題進(jìn)行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯(cuò)誤！未找到引用源。例如常數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）放縮構(gòu)造裂項(xiàng)相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：① 裂項(xiàng)相消：在放縮時(shí)，所構(gòu)造的通項(xiàng)公式要具備“依項(xiàng)同構(gòu)”的特點(diǎn)，即作差的兩項(xiàng)可視為同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)（或等距離間隔項(xiàng)）② 等比數(shù)列：所面對(duì)的問題通常為“錯(cuò)誤！未找到引用源。的指數(shù)類函數(shù)）③ 錯(cuò)位相減：通項(xiàng)公式為“等差錯(cuò)誤！未找到引用源。（關(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用源?？傊\(yùn)用放縮法進(jìn)行數(shù)列不等式的證明，要認(rèn)真分析條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征，明確方向，防止盲目放縮。248。11246。m+k3m+k4k2247。N,xm+kxk=(xm+kxm+k1)+(xm+k1xm+k2)+L+(xk+1xk)163。11(k=2,3,4,L)，證明:對(duì)任意m206。2)anan1nanan1nn+an1111111111111\n179。2)2+b[log2n]的遞推關(guān)系式，然后利用“累加法”把欲證的不等式轉(zhuǎn)化為和數(shù)列的形式 an證明：an分析：根據(jù)已知構(gòu)造關(guān)于Q0an163。3()n2an2an1an