【正文】 要想正確確定放縮目標(biāo)，就必須根據(jù)欲證結(jié)論，抓住題目的特點(diǎn)。n，mCn＞nCm，…，mmm+1m+1mmCmCn＞0，…，mnCnn＞nCm，mn＞0，2222nn1mm∴1+C1nm+Cnm+…+Cnm＞1+Cmn+Cmn+…+Cmn，即(1+m)n＞(1+n)“放縮法”證明不等式的幾種常用策略，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)問題的特征選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，有時(shí)還需要幾種方法融為一體。固定一部分項(xiàng)，放縮另外的項(xiàng)；例求證：11117+++L+ 122232n24證明：Q1=n2n(n1)n1n\1111111115117+++L+1++(+L+)=+().122232n22223n1n42n4此題采用了從第三項(xiàng)開始拆項(xiàng)放縮的技巧，放縮拆項(xiàng)時(shí)，不一定從第一項(xiàng)開始，須根據(jù)具體題型分別對(duì)待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。(ak=1nkak+1)，(n+1)(n+1)2an例設(shè)an=180。, 241616\229。,a3163。先放縮，后裂項(xiàng)（或先裂項(xiàng)再放縮）k例已知an=n，求證：∑＜3．k=1akn證明：∑k=1nn2ak∑k=1n＜1＋∑k=2n(k－1)k(k＋1)=1+k=2n＜１＋∑k=2(k－1)(k＋1)（k＋1 ＋k－1)=1＋ ∑（k=2n－)(k－1)(k＋1)=1＋1＋＜2＋＜3．(n＋1)22本題先采用減小分母的兩次放縮，再裂項(xiàng)，最后又放縮，有的放矢，、放大或縮小“因式”；n1例已知數(shù)列{an}滿足an+1=a,0a1163。由于證明不等式的需要，有時(shí)需要舍去或添加一些項(xiàng)，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，、先放縮再求和（或先求和再放縮）例函數(shù)f（x）=4x1+4xk，求證：f（1）+f（2）+…+f（n）n+12n+11(n206。N*).23a2a3an+1ak2k11111111證明： Q=k+1==179。因?yàn)榉趴s必須有目標(biāo)，而且要恰到好處，目標(biāo)往往要從證明的結(jié)論考察，放縮時(shí)要注意適度，否則就不能同向傳遞。N)nn1n01法1：2=Cn+Cn+...+Cn+Cn；法2：數(shù)學(xué)歸納法 法3：函數(shù)法（求導(dǎo)），證明：()+()+…+（nn*nnn1n)+（nnn)nee1提示:借助e179。1xdx=lnxn+22法3：數(shù)歸證明：、（1）求證：2n++L+246。232。230。2246。L180。ln180。n+2246。247。246。n+1n+1248。20，則1246。23n+1n+1232。an=．（3）法1：a1+a2+L+an=111+1+112+1+L+111246。1=2，公差為1，是等差數(shù)列，首項(xiàng)為253。ln(1+x)163。(x)0，即y=f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)x0時(shí)，f39。i=1ai(ai1)2+++L+n1=2+(112)=3n1n1法3：數(shù)歸證\229。ai(ai1)=1方法一：ai(ai1)=ni2121iii(21)(22)=ii1i1(21)(21)=i11121i.\229。解：（1）用數(shù)學(xué)歸納法易證。N恒有an+1an成立。N+)，求證：229。n+kn1k!163。1233。N)++L+1n1n31n11n法1：放縮一：n(n1)=(n179。1n+1247。i=1Ti=313230。nn+1247。2n+1+=(2n+11)(21)nSn(2n+11)(21)=1230。2nn+1+3(n=1,2,3,L)n（Ⅰ）求首項(xiàng)a1與通項(xiàng)an；（Ⅱ）設(shè)Tn=an=42nn2Sn(n=1,2,3,L)，證明：229。個(gè)正數(shù)，組成公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。間插入錯(cuò)誤！未找到引用源。的值；（2）若錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。其中n∈N*．（1）若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）若存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)一切n∈N*，有bn≤λ≤，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列． 【答案】（1）＝1．（2）．已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。.以下證明： 錯(cuò)誤！未找到引用源。即數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。.（3）設(shè)等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。的等差數(shù)列，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。的公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值集合；（3）記錯(cuò)誤！未找到引用源。均有錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。進(jìn)而求出錯(cuò)誤！未找到引用源?？傻缅e(cuò)誤！未找到引用源。即可獲證錯(cuò)誤！未找到引用源。.點(diǎn)睛：本題是一道新定義的遷移信息并利用信息的信息遷移題。經(jīng)檢驗(yàn)錯(cuò)誤！未找到引用源。又錯(cuò)誤！未找到引用源。同理可得錯(cuò)誤！未找到引用源。使得錯(cuò)誤！未找到引用源。.（2）因?yàn)榧襄e(cuò)誤！未找到引用源。并說明理由；（2）求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。使得錯(cuò)誤！未找到引用源。綜上，錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。兩式相減得錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，求證：當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。使得錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。.因此錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。試題解析：（1）由錯(cuò)誤！未找到引用源。． 【解析】試題分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件用累乘法能夠求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出{bn}的通項(xiàng)公式．（2）bn=2n．假設(shè)存在自然數(shù)m，滿足條件，先求出錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值；（3）若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；（2）是否存在自然數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。其中，錯(cuò)誤！未找到引用源。．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的判定與證明，其中證明（1）的關(guān)鍵是分析得到錯(cuò)誤！未找到引用源。即錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。故實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)恒成立，即使錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見解析⑵錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍；⑶ 設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。若當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。且當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。即錯(cuò)誤！未找到引用源。就可以； 對(duì)于②，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。所以只要錯(cuò)誤！未找到引用源。都成立，（3）詳見解析（3）假設(shè)存在正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。成立？說明理由.【答案】（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數(shù)：錯(cuò)誤！未找到引用源。．方法、規(guī)律歸納: 常見的放縮變形：（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。為首項(xiàng)，錯(cuò)誤！未找到引用源。；②不存在；（2）①當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。若錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請(qǐng)說明理由.（2）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。有錯(cuò)誤！未找到引用源。！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。.類型二、與通項(xiàng)運(yùn)算相關(guān)的不等式 ！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。即錯(cuò)誤！未找到引用源。.于是當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。因此由錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；錯(cuò)誤！未找到引用源。.現(xiàn)設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。；若錯(cuò)誤！未找到引用源。和錯(cuò)誤！未找到引用源。代入錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。若不等式錯(cuò)誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。）．（1）求錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足：錯(cuò)誤！未找到引用源。（累乘時(shí)要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過“累加”或“累乘”達(dá)到一側(cè)為錯(cuò)誤！未找到引用源。公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。如果題目條件無法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯(cuò)誤！未找到引用源。④ 若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個(gè)方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項(xiàng)不動(dòng)，其余項(xiàng)放縮。錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值．放縮法證明數(shù)列不等式基礎(chǔ)知識(shí)回顧:放縮的技巧與方法：（1）常見的數(shù)列求和方法和通項(xiàng)公式特點(diǎn)：① 等差數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用源。個(gè)正數(shù)，共同組成公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。成等差數(shù)列，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。是公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。.（1）求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。求錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。．（3）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為常數(shù)．（1）是否存在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。有錯(cuò)誤！未找到引用源。．（1）求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，．?dāng)?shù)列滿足（1）求數(shù)列（2）若和，且． 的通項(xiàng)公式；，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的，（，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）是否存在正整數(shù)，使，請(qǐng)說明理由．）成等差數(shù)列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，4．已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)的和為錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。．⑴ 求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。中，錯(cuò)誤！未找到引用源。；（2）求錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。實(shí)戰(zhàn)演練: 1．【江蘇省無錫市普通高中2018屆高三上學(xué)期期中】已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。（4）錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。若錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請(qǐng)說明理由.（2）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。有錯(cuò)誤！未找到引用源。）．！未找到引用源。；（2）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。.例如：錯(cuò)誤！未找到引用源。若錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍．！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，求錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引