【正文】 2)。是公差為1的等差數(shù)列，且an+1=nn238。N*； an{}（2）解關(guān)于數(shù)列n的不等式：an+1(sn+1+sn)4n8（3）記bn=2sn,Tn=331111Tn+++L+，證明：1 2b1b2b3bn{an}滿足：237。a2（2）求數(shù)列{an}（江西理22壓軸題）已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝1a4+1a5+L+1am.,且滿足:a0=1,an+1=an,(4an),n206。xn163。nan1n+an1,n179。例6（湖北理22壓軸題）已知不等式12+13+L+1n12[logn],n206。1).（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：an179。3時(shí)證明對(duì)所有n179。(1+n例5設(shè)n1,n206。2總有xn179。247。,n206。.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）設(shè)，證明an1n+1x1例4（北京理19）數(shù)列{xn}由下列條件確定：xn+1==a0，1230。b+ca+ca+b+1策略四、單調(diào)性放縮證明不等式例4（湖南理19）已知函數(shù)f(x)=xsinx,數(shù)列{an}滿足:0a11,an+1=f(an),n=1,2,3,:（I）．0an+1an1。2nn2n2n+1.策略三、調(diào)整分式值放縮證明數(shù)列不等式（尾式或局部放縮）一個(gè)分式若分母不變分子變大則分式值變大，若分子不變分母變大則分式值變??；一個(gè)真分式，分子、分母同時(shí)加上同一個(gè)正數(shù)則分式值變大（“加糖不等式”）姐妹不等式:bab+ma+m(ba0,m0)和bab+ma+m(ab0,m0)例3（福建理22壓軸題）已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*)（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足4b1明:例3證明：(1+1)(1+3)(1+5)L(1+2n1)即證：135L(2n1)例3證明:(1+1)(1+)(1+)L(1+713n2)－1 b2－24?4bn－1=(an+1)bn(n∈N*),證明:{bn}是等差數(shù)列。N*都成立的最小正整數(shù)m；例1（重慶理22壓軸題）設(shè)數(shù)列{a}滿足a1=2,an+1=an+n1an(n=1,2,L).（Ⅰ）證明an2n+1對(duì)一切正整數(shù)n成立；（Ⅱ）令bn=ann(n=1,2,L)，判定b與bnn+1的大小，并說明理由例1已知n206。Tii=1例1（湖北理17）已知二次函數(shù)y=f(x)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f39。N)nn1n01法1：2=Cn+Cn+...+Cn+Cn；法2：數(shù)學(xué)歸納法 法3：函數(shù)法（求導(dǎo)），證明：()+()+…+（nn*nnn1n)+（nnn)nee1提示:借助e179。1xdx=lnxn+22法3：數(shù)歸證明：、（1）求證：2n++L+246。232。230。2246。L180。ln180。n+2246。247。246。n+1n+1248。20，則1246。23n+1n+1232。an=．（3）法1：a1+a2+L+an=111+1+112+1+L+111246。1=2，公差為1，是等差數(shù)列，首項(xiàng)為253。ln(1+x)163。(x)0，即y=f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)x0時(shí)，f39。i=1ai(ai1)2+++L+n1=2+(112)=3n1n1法3：數(shù)歸證\229。ai(ai1)=1方法一：ai(ai1)=ni2121iii(21)(22)=ii1i1(21)(21)=i11121i.\229。解：（1）用數(shù)學(xué)歸納法易證。N恒有an+1an成立。N+)，求證：229。n+kn1k!163。1233。N)++L+1n1n31n11n法1：放縮一：n(n1)=(n179。1n+1247。i=1Ti=313230。nn+1247。2n+1+=(2n+11)(21)nSn(2n+11)(21)=1230。2nn+1+3(n=1,2,3,L)n（Ⅰ）求首項(xiàng)a1與通項(xiàng)an；（Ⅱ）設(shè)Tn=an=42nn2Sn(n=1,2,3,L)，證明：229。個(gè)正數(shù)，組成公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。間插入錯(cuò)誤！未找到引用源。的值；（2）若錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。其中n∈N*．（1）若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）若存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)一切n∈N*，有bn≤λ≤，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列． 【答案】（1）＝1．（2）．已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。.以下證明： 錯(cuò)誤！未找到引用源。即數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。.（3）設(shè)等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。的等差數(shù)列，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。的公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值集合；（3）記錯(cuò)誤！未找到引用源。均有錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。進(jìn)而求出錯(cuò)誤！未找到引用源?？傻缅e(cuò)誤！未找到引用源。即可獲證錯(cuò)誤！未找到引用源。.點(diǎn)睛：本題是一道新定義的遷移信息并利用信息的信息遷移題。經(jīng)檢驗(yàn)錯(cuò)誤！未找到引用源。又錯(cuò)誤！未找到引用源。同理可得錯(cuò)誤！未找到引用源。使得錯(cuò)誤！未找到引用源。.（2）因?yàn)榧襄e(cuò)誤！未找到引用源。并說明理由；（2）求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。使得錯(cuò)誤！未找到引用源。綜上，錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。兩式相減得錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，求證：當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。使得錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。.因此錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。試題解析：（1）由錯(cuò)誤！未找到引用源。． 【解析】試題分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件用累乘法能夠求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出{bn}的通項(xiàng)公式．（2）bn=2n．假設(shè)存在自然數(shù)m，滿足條件，先求出錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值；（3）若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；（2）是否存在自然數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。其中，錯(cuò)誤！未找到引用源。．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的判定與證明，其中證明（1）的關(guān)鍵是分析得到錯(cuò)誤！未找到引用源。即錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。故實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)恒成立，即使錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見解析⑵錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍；⑶ 設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。若當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。且當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。即錯(cuò)誤！未找到引用源。就可以； 對(duì)于②，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。所以只要錯(cuò)誤！未找到引用源。都成立，（3）詳見解析（3）假設(shè)存在正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。成立？說明理由.【答案】（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數(shù)：錯(cuò)誤！未找到引用源。．方法、規(guī)律歸納: 常見的放縮變形：（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。為首項(xiàng)，錯(cuò)誤！未找到引用源。；②不存在；（2）①當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。若錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請(qǐng)說明理由.（2）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。有錯(cuò)誤！未找到引用源。！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。.類型二、與通項(xiàng)運(yùn)算相關(guān)的不等式 ！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。即錯(cuò)誤！未找到引用源。.于是當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。因此由錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；錯(cuò)誤！未找到引用源。.現(xiàn)設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。；若錯(cuò)誤！未找到引用源。和錯(cuò)誤！未找到引用源。代入錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。若不等式錯(cuò)誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。）．（1）求錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足：錯(cuò)誤！未找到引用源。（累乘時(shí)要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過“累加”或“累乘”達(dá)到一側(cè)為錯(cuò)誤！未找到引用源。公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。如果題目條件無法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯(cuò)誤！未找到引用源。④ 若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個(gè)方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項(xiàng)不動(dòng)，其余項(xiàng)放縮。錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值．放縮法證明數(shù)列不等式基礎(chǔ)知識(shí)回顧:放縮的技巧與方法：（1）常見的數(shù)列求和方法和通項(xiàng)公式特點(diǎn)：① 等差數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用源。個(gè)正數(shù)，共同組成公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。成等差數(shù)列，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。是公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。.（1）求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。求錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。．（3）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為常數(shù)．（1）是否存在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。有錯(cuò)誤！未找到引用源。．（1）求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，．?dāng)?shù)列滿足（1）求數(shù)列（2）若和，且． 的通項(xiàng)公式；，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的，（，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）是否存在正整數(shù)，使，請(qǐng)說明理由．）成等差數(shù)列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，4．已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)的和為錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。．⑴