【正文】 總之，運(yùn)用放縮法進(jìn)行數(shù)列不等式的證明，要認(rèn)真分析條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征，明確方向，防止盲目放縮。248。11246。m+k3m+k4k2247。N,xm+kxk=(xm+kxm+k1)+(xm+k1xm+k2)+L+(xk+1xk)163。11(k=2,3,4,L)，證明:對(duì)任意m206。2)anan1nanan1nn+an1111111111111\n179。2)2+b[log2n]的遞推關(guān)系式，然后利用“累加法”把欲證的不等式轉(zhuǎn)化為和數(shù)列的形式 an證明：an分析：根據(jù)已知構(gòu)造關(guān)于Q0an163。3()n2an2an1an2a21111212[1++()2+L+()n1]=(1n) 3222332五．構(gòu)造和數(shù)列后進(jìn)行放縮如果數(shù)列不等式?jīng)]有直接的求和的形式，很多時(shí)候可以間接的構(gòu)造和數(shù)列，然后進(jìn)行放縮處理。2)且a1=1,a2=3, an1\n179。4\ak+1=ak+1ak1+1a+111k+1163。2),求證：1111++L+163。左邊=1+11111111111111+(+)+(+++)+(++L+)+L+(n1+Ln+n)***+12121+=1+11111111111111+(+)+(+++)+(++L+)+L+(n+Ln+n)***22211111n+++L+(共n個(gè))=1+ 222222四．利用遞推關(guān)系式放縮利用遞推關(guān)系式產(chǎn)生的不等關(guān)系，在很多題目中可以起到很好的放縮效果。1,證明：對(duì)任意整數(shù)m4,有++L+ 3a4a5am8n1分析：通項(xiàng)中含有(1)，把+整體捆綁同時(shí)結(jié)合奇偶性進(jìn)行適度放縮。bk2n+[(1+2)+(2+3)+L+(n+n+1)]=2n+(+n+1)2n333333333k=1\bn2(1)=2,f(n+1)=f(n)+f(n),求證：229。2)\229。k12nna2232323322222k=1k+1k=1“裂項(xiàng)法求和”在例1中，不等式的左邊無法求和，但通過放縮產(chǎn)生裂項(xiàng)相消的求和效果后，使問題解決。k，不等式右邊得證。kSn229。除此之外，還可以調(diào)整放縮的次數(shù)，通過多次放縮的調(diào)整來達(dá)到效果；有時(shí)也可以根據(jù)欲證式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，把相鄰的項(xiàng)分組捆綁后進(jìn)行放縮，也可以達(dá)到控制放縮合理和尺度的效果。3(n1)180。2），這樣放的量就少了。那怎么辦呢？1．調(diào)整放縮的“量”的大小分析2：分析1中“放”的有點(diǎn)過大，因?yàn)?1，放大了1111，K所以可以2221180。2)”的方法向右端放大，n2n(n1)(n1)n11111117111=1+()+()+K+()=22 則左邊1+++K1223n1nn41180。：挖掘不等式的結(jié)構(gòu)特征和函數(shù)內(nèi)涵來構(gòu)造單調(diào)數(shù)列或單調(diào)函數(shù)，利用單調(diào)性、值域產(chǎn)生的不等關(guān)系進(jìn)行放縮。所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對(duì)不等式的局部進(jìn)行合理的放大和縮小從而向結(jié)論轉(zhuǎn)化，其難度在于放縮的合理和適度。N*)122，當(dāng)n=1時(shí)，a1=02，結(jié)論成立 313cn1當(dāng)n179。(3c)(1an2)163。3 且 1an1179。[0,1]對(duì)所有n206。c+1c=1，且ak+1=cak+1c179。[0,1]當(dāng)n=1時(shí)，a1=0206。1，即c206。312222（Ⅲ）設(shè)0c，證明：a1+a2+Lann+1,n206。N成立的充分必要條件是c206。3n1，22222222n+1故得an+1an179。3n1 bnan2an=2；分析；（1）（2）證明：因?yàn)閍n+1=(1+所以an0，nn所以an+1與an同號(hào)，又因?yàn)閍1=10，)an，2nnan0，即an+1an．所以數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，所以an179。.,k=1,2,...,n, ak+12122(2k+11)+2k2232k\aa1a2n1111n11n1++...+n179。bk+1=根據(jù)（1）和（2），可知bn=2+(n1)d對(duì)任何n206。證法二：同證法一，得(n1)bn+1nbn+2=0 令n=1,得b1==2+d(d206。N),*\an+1+1=2(an+1),\{an+1}是以a1+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。N).*（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明：an1a1a2n++...+n(n206。6412=綜上，原不等式成立．115+231。 62232。=11230。 a1+b1a2+b2an+bn62232。 9分 故11111230。 4分 用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時(shí)，由上可得結(jié)論成立． ②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即ak=k(k+1)，bk=(k+1)2，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，2akak+1=2bkak=2(k+1)k(k+1)=(k+1)(k+2)，bk+1=+2=(k+2)2．bk所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．由①②，可知an=n(n+1)，bn(n+1)對(duì)一切正整數(shù)都成立． 5n(n+2)11111111=(1+++L+)232435nn+211113=(1+) 22n+1n+24方法：先放縮，再求和 例（放縮之后裂項(xiàng)求和）（遼寧卷21）．在數(shù)列|an|，|bn|中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差數(shù)列，bn，an+1，bn+1成等比數(shù)列（n206。S2b2=(6+d)q=64238。bk=k=1++K+=11 練習(xí)：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，an為正整數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且a1=3,b1=1，數(shù)列{ban}是公比為64的等比數(shù)列，b2S2=64.（1）求an,bn；（2）求證1113++L+.S1S2Sn4解：（1）設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，則d為正整數(shù)，an=3+(n1)d，bn=qn1236。11=，1a1an+11ann254。n,2an+1=1+an+1gan，n206。ln(n+2)ln2 n+1248。1232。247。ln(n+2)ln2 n+1248。230。230。n+1248。234nn+1232。nln+ln+ln+L+ln+ln247。1∴n231。ln231。又∵x0時(shí)，有xln(1+x)，令x=1n+1230。1=n231。an1254。236。(0)=0，即x=0是極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)f(x)=ln(1+x)x163。x；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（3）求證不等式：a1+a2+L+ann+ln2ln(n+2)． 解：（1）f(x)=ln(1+x)x，f39。22ii1.(i179。Qan+11=an(an1)\1an+111an1a1=1an11an\=1an11a21an+111a2006\++L+=（1a1111a211)+（1a211a31)+L+（1a200611a20071)=a11a200711=1a1a2La20061又a1a2La2006a12006=22006\11a1a2La200612006\原不等式得證。N，有an+1=anan1La2a1+1成立。n==法2：放縮后裂項(xiàng)求和an=21212n+1n1（=212(21nn)1=n+1=121(2n+1n1)(21)n=21nn+11)法3：數(shù)歸，但是直接去證是不行的，要轉(zhuǎn)化為一個(gè)加強(qiáng)命題4．定義數(shù)列如下：a1=2,an+1=anan+1,n206。3)(k179。k(k1)k(k+1)2,k206。2)Sn=54++L+1n（11+2)+111111111(++L++)22435n2nn1n+1+1111151115(+)+(+)=.223nn+142233放縮三：1n1n=(n+112)(n12)=（1n1n+12)=2（12n112n+1),(n179。2121248。180。2121248。180。180。即錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，若不等式錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式； ②在錯(cuò)誤！未找到引用源。．（1）若錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。.9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}，{}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯(cuò)誤！未找到引用源。其中錯(cuò)誤！未找到引用源。為減函數(shù)，錯(cuò)誤！未找到引用源。當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為正整數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。首項(xiàng)大于錯(cuò)誤！未找到引用源。則錯(cuò)誤！未找到引用源。不是整數(shù)，綜上所述，正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足條件，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。的等差數(shù)列，又錯(cuò)誤！未找到引用源。是等差數(shù)列.（2）因?yàn)榈娜我獾腻e(cuò)誤！未找到引用源。從而錯(cuò)誤！未找到引用源。.【答案】（1）見解析（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。的等差數(shù)列，求使錯(cuò)誤！未找到引用源。是等差數(shù)列；（2）若 錯(cuò)誤！未找到引用源。.8．記等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。經(jīng)檢驗(yàn)錯(cuò)誤！未找到引用源。又錯(cuò)誤！未找到引用源。同理可得錯(cuò)誤！未找到引用源。故錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。所以對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用源。求錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。． 【答案】（1）不存在，理由見解析（2）證明見解析（3）證明見解析當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。5．【江蘇省啟東中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第一次月考】設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。.（3）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。.當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。． 又錯(cuò)誤！未找到引用源?？汕蟮缅e(cuò)誤！未找到引用源。；（2）存在，錯(cuò)誤！未找到引用源。求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。有錯(cuò)誤！未找到引用源。．（1）求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。的關(guān)系式．3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知數(shù)列滿足，且． 的前項(xiàng)和為，滿足，．?dāng)?shù)列（1）求數(shù)列（2）若和的通項(xiàng)公式；，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的，（，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）是否存在正整數(shù)，使，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2））成等差數(shù)列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，（3）不存在（2）由（1）得于是所以，兩式相減得所以由（1）得因?yàn)閷?duì) 即所以恒成立，都有，恒成立，記所以因?yàn)閺亩鴶?shù)列于是，為遞增數(shù)列，所以當(dāng)．（），使成等差數(shù)列，則，時(shí)取最小值，（3）假設(shè)存在正整數(shù)即，若為偶數(shù)，則若為奇數(shù)，設(shè)于是當(dāng)時(shí)，為奇數(shù)，而為偶數(shù)，上式不成立.，則，與矛盾；，即，此時(shí)4．已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。因此數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。； ⑶由⑴得錯(cuò)誤！未找到引用源。為正偶數(shù)恒成立，錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用源。要使錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)的和為錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。．⑴ 求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。中，錯(cuò)誤！未找到引用源。所以當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。不成立，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。和②：錯(cuò)誤！未找到引用源。成立，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。（3）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。；（3）問是否存在正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。注：對(duì)于錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求錯(cuò)誤！未找到引用源。① 判定錯(cuò)誤！未找到引用源。使得錯(cuò)誤！未找到引用源。為實(shí)數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。則有：錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足：錯(cuò)誤！未找到引用源。.因此，錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式為錯(cuò)誤！未找到引用源。.又錯(cuò)誤！未找到引用源。中最大項(xiàng)必在A中，由（2）得錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）詳見解析（3）詳見解析 【解析】試題分析：（1）根據(jù)及時(shí)定義，列出等量關(guān)系，解出首項(xiàng)，寫出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)子集關(guān)系，進(jìn)行放縮，