【正文】 N*)+12+13+......+1n2n(n206。N*)(n206。N*)例2(2013廣東文19第(3)問)求證：11180。3時，證明對所有的n179。238。N*)22：+2+3+....+n1(n206。3+...+n(n+1)p例１.（１９８５全國卷）求證：(n206。an1dan1ana1(1qn)（q185。an=_____sn=______(n206。222a2a3an11111)(1+)(1+)L(1+)4 b1b2b3bn4第五篇：放縮法與數(shù)列不等式的證明2017高三復(fù)習(xí)靈中黃老師的專題放縮法證明數(shù)列不等式編號：001 引子：放縮法證明數(shù)列不等式歷來是高中數(shù)學(xué)的難點，在高考數(shù)列試題中經(jīng)常扮演壓軸的角色。254。n+2236。N)nn1n01法1：2=Cn+Cn+...+Cn+Cn；法2：數(shù)學(xué)歸納法 法3：函數(shù)法（求導(dǎo)），證明：()+()+…+（nn*nnn1n)+（nnn)nee1提示:借助e179。1xdx=lnxn+22法3：數(shù)歸證明：、（1）求證：2n++L+246。232。230。2246。L180。ln180。n+2246。247。246。n+1n+1248。20，則1246。23n+1n+1232。an=．（3）法1：a1+a2+L+an=111+1+112+1+L+111246。1=2，公差為1，是等差數(shù)列，首項為253。ln(1+x)163。(x)0，即y=f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)x0時，f39。i=1ai(ai1)2+++L+n1=2+(112)=3n1n1法3：數(shù)歸證\229。ai(ai1)=1方法一：ai(ai1)=ni2121iii(21)(22)=ii1i1(21)(21)=i11121i.\229。解：（1）用數(shù)學(xué)歸納法易證。N恒有an+1an成立。N+)，求證：229。n+kn1k!163。1233。N)++L+1n1n31n11n法1：放縮一：n(n1)=(n179。1n+1247。i=1Ti=313230。nn+1247。2n+1+=(2n+11)(21)nSn(2n+11)(21)=1230。2nn+1+3(n=1,2,3,L)n（Ⅰ）求首項a1與通項an；（Ⅱ）設(shè)Tn=an=42nn2Sn(n=1,2,3,L)，證明：229。個正數(shù)，組成公比為錯誤！未找到引用源。（3）錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。的值；（2）若錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。其中n∈N*．（1）若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{}的通項公式；（2）若存在實數(shù)λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列． 【答案】（1）＝1．（2）．已知各項不為零的數(shù)列錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。當(dāng)錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。.以下證明： 錯誤！未找到引用源。即數(shù)列錯誤！未找到引用源。.（3）設(shè)等差數(shù)列錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。的等差數(shù)列，所以錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。的公差為錯誤！未找到引用源。的取值集合；（3）記錯誤！未找到引用源。均有錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。進而求出錯誤！未找到引用源。可得錯誤！未找到引用源。即可獲證錯誤！未找到引用源。.點睛：本題是一道新定義的遷移信息并利用信息的信息遷移題。經(jīng)檢驗錯誤！未找到引用源。又錯誤！未找到引用源。同理可得錯誤！未找到引用源。使得錯誤！未找到引用源。.（2）因為集合錯誤！未找到引用源。并說明理由；（2）求證： 錯誤！未找到引用源。使得錯誤！未找到引用源。綜上，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。兩式相減得錯誤！未找到引用源。時，求證：當(dāng)錯誤！未找到引用源。使得錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。.因此錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。試題解析：（1）由錯誤！未找到引用源。． 【解析】試題分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件用累乘法能夠求出數(shù)列{an}的通項公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出{bn}的通項公式．（2）bn=2n．假設(shè)存在自然數(shù)m，滿足條件，先求出錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。的最小值；（3）若數(shù)列錯誤！未找到引用源。的通項公式；（2）是否存在自然數(shù)錯誤！未找到引用源。數(shù)列錯誤！未找到引用源。其中，錯誤！未找到引用源。．【點睛】本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的判定與證明，其中證明（1）的關(guān)鍵是分析得到錯誤！未找到引用源。即錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。故實數(shù)錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)恒成立，即使錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見解析⑵錯誤！未找到引用源。的取值范圍；⑶ 設(shè)數(shù)列錯誤！未找到引用源。若當(dāng)錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，錯誤！未找到引用源。且當(dāng)錯誤！未找到引用源。即錯誤！未找到引用源。就可以； 對于②，當(dāng)錯誤！未找到引用源。所以只要錯誤！未找到引用源。都成立，（3）詳見解析（3）假設(shè)存在正整數(shù)錯誤！未找到引用源。成立？說明理由.【答案】（1）錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，并求其通項錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數(shù)：錯誤！未找到引用源。．方法、規(guī)律歸納: 常見的放縮變形：（1）錯誤！未找到引用源。為首項，錯誤！未找到引用源。；②不存在；（2）①當(dāng)錯誤！未找到引用源。若錯誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請說明理由.（2）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，①求數(shù)列錯誤！未找到引用源。有錯誤！未找到引用源。！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.類型二、與通項運算相關(guān)的不等式 ！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。即錯誤！未找到引用源。.于是當(dāng)錯誤！未找到引用源。因此由錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（1）求數(shù)列的通項公式；錯誤！未找到引用源。.現(xiàn)設(shè)錯誤！未找到引用源。；若錯誤！未找到引用源。和錯誤！未找到引用源。代入錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。若數(shù)列錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。若不等式錯誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設(shè)錯誤！未找到引用源。）．（1）求錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。（累乘時要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過“累加”或“累乘”達到一側(cè)為錯誤！未找到引用源。公比為錯誤！未找到引用源。如果題目條件無法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯誤！未找到引用源。④ 若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項不動，其余項放縮。錯誤！未找到引用源。的最大值．放縮法證明數(shù)列不等式基礎(chǔ)知識回顧:放縮的技巧與方法：（1）常見的數(shù)列求和方法和通項公式特點：① 等差數(shù)列求和公式：錯誤！未找到引用源。個正數(shù)，共同組成公比為錯誤！未找到引用源。成等差數(shù)列，①求數(shù)列錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。求證： 錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。.（1）求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。求錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。．（3）當(dāng)錯誤！未找到引用源。為常數(shù)．（1）是否存在數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。求數(shù)列錯誤！未找到引用源。有錯誤！未找到引用源。．（1）求數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知數(shù)列的前項和為，滿足，．?dāng)?shù)列滿足（1）求數(shù)列（2）若和，且． 的通項公式；，數(shù)列的前項和為，對任意的，（，都有，求實數(shù)的取值范圍；（3）是否存在正整數(shù)，使，請說明理由．）成等差數(shù)列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，4．已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。項的和為錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。．⑴ 求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。中，錯誤！未找到引用源。；（2）求錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。實戰(zhàn)演練: 1．【江蘇省無錫市普通高中2018屆高三上學(xué)期期中】已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。（4）錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。若錯誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請說明理由.（2）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，①求數(shù)列錯誤！未找到引用源。有錯誤！未找到引用源。）．！未找到引用源。；（2）求證:錯誤！未找到引用源。數(shù)列錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.例如：錯誤！未找到引用源。若錯誤！未找到引用源。的取值范圍．！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，求錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源?；蝈e誤！未找到引用源。即可猜想該等比數(shù)列的首項為錯誤！未找到引用源。常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿足錯誤！未找到引用源。等比”的形式④ 裂項相消：通項公式可拆成兩個相鄰項的差，且原數(shù)列的每一項裂項之后正負能夠相消，進而在求和后式子中僅剩有限項（2）與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：① 在數(shù)列中，“求和看通項”，所以在放縮的過程中通常從數(shù)列的通項公式入手