【正文】 1+1n\1an11an1(n179。N* 證明：（1）對(duì)于n206。等比”的形式④ 裂項(xiàng)相消：通項(xiàng)公式可拆成兩個(gè)相鄰項(xiàng)的差，且原數(shù)列的每一項(xiàng)裂項(xiàng)之后正負(fù)能夠相消，進(jìn)而在求和后式子中僅剩有限項(xiàng)（2）與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：① 在數(shù)列中，“求和看通項(xiàng)”，所以在放縮的過程中通常從數(shù)列的通項(xiàng)公式入手② 在放縮時(shí)要看好所證不等式中不等號(hào)的方向，這將決定對(duì)通項(xiàng)公式是放大還是縮?。☉?yīng)與所證的不等號(hào)同方向）③ 在放縮時(shí)，對(duì)通項(xiàng)公式的變形要向可求和數(shù)列的通項(xiàng)公式靠攏，常見的是向等比數(shù)列與可裂項(xiàng)相消的數(shù)列進(jìn)行靠攏。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍．！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。有錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。；（2）求錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。．（1）求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為常數(shù)．（1）是否存在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。求錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值．放縮法證明數(shù)列不等式基礎(chǔ)知識(shí)回顧:放縮的技巧與方法：（1）常見的數(shù)列求和方法和通項(xiàng)公式特點(diǎn)：① 等差數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用源。公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。.現(xiàn)設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。.于是當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為首項(xiàng)，錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。所以只要錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍；⑶ 設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。故實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。即錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；（2）是否存在自然數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。試題解析：（1）由錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，求證：當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。使得錯(cuò)誤！未找到引用源。同理可得錯(cuò)誤！未找到引用源。即可獲證錯(cuò)誤！未找到引用源。均有錯(cuò)誤！未找到引用源。的等差數(shù)列，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。即數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。的值；（2）若錯(cuò)誤！未找到引用源。個(gè)正數(shù)，組成公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。i=1Ti=313230。解：（1）用數(shù)學(xué)歸納法易證。ln(1+x)163。20，則1246。n+2246。230。n+2236。an1dan1ana1(1qn)（q185。3時(shí)，證明對(duì)所有的n179。N*)+12+13+......+1n2n(n206。238。an=_____sn=______(n206。N)nn1n01法1：2=Cn+Cn+...+Cn+Cn；法2：數(shù)學(xué)歸納法 法3：函數(shù)法（求導(dǎo)），證明：()+()+…+（nn*nnn1n)+（nnn)nee1提示:借助e179。2246。247。23n+1n+1232。(x)0，即y=f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)x0時(shí)，f39。N恒有an+1an成立。1233。nn+1247。（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。.（3）設(shè)等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。.點(diǎn)睛：本題是一道新定義的遷移信息并利用信息的信息遷移題。使得錯(cuò)誤！未找到引用源。綜上，錯(cuò)誤！未找到引用源。使得錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。． 【解析】試題分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件用累乘法能夠求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出{bn}的通項(xiàng)公式．（2）bn=2n．假設(shè)存在自然數(shù)m，滿足條件，先求出錯(cuò)誤！未找到引用源。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)恒成立，即使錯(cuò)誤！未找到引用源。若當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。且當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。都成立，（3）詳見解析（3）假設(shè)存在正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。；②不存在；（2）①當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。有錯(cuò)誤！未找到引用源。.類型二、與通項(xiàng)運(yùn)算相關(guān)的不等式 ！未找到引用源。因此由錯(cuò)誤！未找到引用源。；若錯(cuò)誤！未找到引用源。若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。）．（1）求錯(cuò)誤！未找到引用源。如果題目條件無法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯(cuò)誤！未找到引用源。個(gè)正數(shù)，共同組成公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。若錯(cuò)誤！未找到引用源。）．！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源?；蝈e(cuò)誤！未找到引用源。的一次函數(shù)或常值函數(shù)）② 等比數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用源。這里需要對(duì)m進(jìn)行分類討論，（1）當(dāng)m為偶數(shù)(m4)時(shí)，1a41a51am1a412+++L+=+(31a51+1a61)+L+（1am11m2+1am)22221311=+180。1n12+13+L+1n12[log2n],其中n為不大于2的整數(shù)，22n的最大整數(shù)。1n+1n11n1+L+1an1b1b+1n12++L++[logn](n179。分析：（1）用數(shù)學(xué)歸納法易證。如果題目條件無法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯(cuò)誤！未找到引用源。）．（1）求錯(cuò)誤！未找到引用源。定義錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足：錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)；②是否存在這樣的正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。試求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，求證：當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。是等差數(shù)列；（2）若 錯(cuò)誤！未找到引用源。．（1）若錯(cuò)誤！未找到引用源。（關(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用源。另一側(cè)為求和的結(jié)果，進(jìn)而完成證明 應(yīng)用舉例:類型一：與前n項(xiàng)和相關(guān)的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學(xué)高三摸底考試】已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。得錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。.所以數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。）． 【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析．故錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。；（2）求錯(cuò)誤！未找到引用源。為奇數(shù)時(shí)，滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。其中錯(cuò)誤！未找到引用源。⑶錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。．點(diǎn)睛：數(shù)列求和時(shí)，要根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的特點(diǎn)選擇不同的方法，常用的求和方法有公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、分組求和等。即錯(cuò)誤！未找到引用源。；（2）若錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。因此構(gòu)成數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。顯然，錯(cuò)誤！未找到引用源。其中錯(cuò)誤！未找到引用源。即錯(cuò)誤！未找到引用源。個(gè)正數(shù)，共同組成公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。Tii=1解：易求Sn=Tn=（其中n為正整數(shù)）nn432nan=n13180。2232。+1n+2+...+kn+11(k179。i=1ai(ai1)(21)+（121121)+（121121)+L+（12n11121n)=3121n：ai(ai1)=ii(21)=i122+i122i122+i163。a11238。n+1232。232。2230。（1）求an；（2++L2 {an}中，已知a1=2,an+1an=2anan+1；（1）求an；（2）證明：a1(a11)+a2(a21)+a3(a31)+L+an(an1)32n+{an}滿足：a1=2,an+1=； n(n+)an+225112n（1）設(shè)bn=，求bn；（2）記=，求證：163。N*)22n(n+1)n(n+3)p13+13180。7+L+11(2n1)(2n+1)2：n12n+122+32+......+n2n(n206。3+...+n(n+1)p變式：(n206。2)。2n+2242。343180。+3+L+345n+1n+2246。nn+1∴an1=n1222。2)n\229。2)；212n+1nk!k(k1)(k2)nan=例3：已知：1(n206。2求證：（1）11+法1：數(shù)歸（兩邊都可以）法2：放縮裂項(xiàng) 法3：定積分放縮（2）22L+n206。2n+1+=(4n23n)180。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。(n＋2)＝錯(cuò)誤！未找到引用源。因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。（3）見解析解：（1）設(shè)等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。構(gòu)成數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值.【答案】（1）不具有（2）見解析（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，上式成立，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。、錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用源。為等差數(shù)列；⑵ 設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。使得錯(cuò)誤！未找到引用源。還可放縮為：錯(cuò)誤！未找到引用源。是否為等比數(shù)列；②設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。.（2）因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。（2）對(duì)任意正整數(shù)，若，求證：；錯(cuò)誤！未找到引用源。.對(duì)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍．【答案】（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用源。等比”的形式④ 裂項(xiàng)相消：通項(xiàng)公式可拆成兩個(gè)相鄰項(xiàng)的差，且原數(shù)列的每一項(xiàng)裂項(xiàng)之后正負(fù)能夠相消，進(jìn)而在求和后式子中僅剩有限項(xiàng)