不等式放縮技巧十法-免費閱讀
【正文】 探索3 探索過渡“橋”，尋求證明加強不等式：由（2）知xn≥1，由此得。（2）證明：。得179。a2a2例12 設(shè)，求證.[簡析] 觀察的結(jié)構(gòu)，注意到，展開得即，得證.例13 設(shè)數(shù)列滿足 （Ⅰ）證明對一切正整數(shù)成立；（Ⅱ）令，判定與的大小，并說明理由。表示不超過的最大整數(shù)。 例2 已知函數(shù)，若，且在[0，1]上的最小值為，求證： [簡析] 例3 求證.簡析 不等式左邊==，故原結(jié)論成立.【例4】已知， 求證：≤1.【解析】使用均值不等式即可：因為，所以有 其實，上述證明完全可以改述成求的最大值。本題還可以推廣為： 若， 試求的最大值。設(shè)正數(shù)數(shù)列滿足：求證【簡析】 當(dāng)時，即 于是當(dāng)時有 注：①本題涉及的和式為調(diào)和級數(shù)，是發(fā)散的，不能求和；但是可以利用所給題設(shè)結(jié)論來進行有效地放縮；②引入有用結(jié)論在解題中即時應(yīng)用，是近年來高考創(chuàng)新型試題的一個顯著特點，有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與創(chuàng)新意識。[簡析] 本題有多種放縮證明方法，這里我們對（Ⅰ）進行減項放縮，有法1 用數(shù)學(xué)歸納法（只考慮第二步）；法2 則四 利用單調(diào)性放縮1. 構(gòu)造數(shù)列如對上述例1，令則，遞減，有，故再如例5，令則，即遞增，有，得證！2．構(gòu)造函數(shù)例14 已知函數(shù)的最大值不大于，又當(dāng)時（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)，證明[解析] （Ⅰ）=1 ；（Ⅱ）由得 且用數(shù)學(xué)歸納法（只看第二步）：在是增函數(shù)，則得例15 數(shù)列由下列條件確定：，．（I） 證明：對總有；(II) 證明：對總有[解析] 構(gòu)造函數(shù)易知在是增函數(shù)?！璦n2……an21－（）＝1－＝1－。（3）判斷與的大小，并說明理由.【解析】(1) 求導(dǎo)可得在上是增函數(shù),（2）（數(shù)學(xué)歸納法證明）①當(dāng)時，由已知成立；②假設(shè)當(dāng)時命題成立，即成立， 那么當(dāng)時，由（1）得， ， ，這就是說時命題成立. 由①、②知，命題對于都成立 （3） 由, 構(gòu)造輔助函數(shù)，得， 當(dāng)時，故，所以0 得g(x)在是減函數(shù)， ∴g(x)g(0)=f(0)2=0，∴0,即0，得。有 嘗試證明 證法1（數(shù)學(xué)歸納法，略）； 法2 （用二項展開式部分項）：當(dāng)n≥2時2n=(1+1)n≥ 此題還可發(fā)現(xiàn)一些放縮方法，如：。于是由此遞推放縮式逐步放縮得 探索2 從求證式特征嘗試分析：結(jié)論式可作如下變形： 逆向思考，猜想應(yīng)有：（用數(shù)學(xué)歸納法證明，略）。由為下凸函數(shù)得 又，所以
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