【正文】 3 放縮法的常用技巧 增減放縮法 增加（減去）不等式中的一些正（負(fù)）項(xiàng)在不等式的證明中常常用增加（減去）一些正(負(fù))項(xiàng),從而使不等式一邊的各項(xiàng)之和變大(小), 設(shè)a,b,c都是正數(shù),ab+bc+ca=1,求證：a+b+c179。2(1+an)0, \11+an+111163。12n121+an111+a1，1\11+a1+11+a2+11+a3+L+1+an111246。21=111+a11+32 增大（減?。┎坏仁揭贿叺牟糠猪?xiàng)在不等式的證明中,有時(shí)候增大或減小不等式一邊的所有項(xiàng)會(huì)造成放縮過度,因此, 求證證明：Q122+132+142+L+1n2179。(k179。1246。+L+231。232。n+1248。(n+1)(2n+1)249。2+2180。lg2+lg4246。247。2248。1，\1sina2+41sin2b179。3時(shí)，1n+1+1n+2+L+xx+a213n+12a5, 設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)=的充要條件是a1.,求證：對(duì)任意的x,y206。n1t+231。247。,則: 2232。 f162。f231。230。246。247。235。247。nn233。2234。 221231。231。1+232。2)；(Ⅱ)已知不等式ln(1+x)x對(duì)x：(Ⅰ)用數(shù)學(xué)歸納法證明,略；(Ⅱ)用遞推公式及(Ⅰ)的結(jié)論有 an+1=231。231。1+232。1)上式從1到n1求和可得： \lnan+1lnan163。23248。f(n),這里的163。12+13+L+1n,求證：n；(Ⅱ)Sn2(n+11)；(Ⅲ)Sn：(Ⅰ)Sn=1+1n12+13+L+1n1n 179。3+L1(n1)n=2 由21n61361n ,顯然放得過大,要減少放大的項(xiàng)；先試試減少一項(xiàng)： 112+122+L+1n2112+122+12180。1+231。232。247。11246。231。1231。230。432230。aa4247。2232。由例例2也可知運(yùn)用放縮法前先要觀察目標(biāo)式子的符號(hào)。2223833∴左邊=(a+b+c)22(ab+bc+ca)+abc23434 =92a(b+c)+bc(a)≥92a(3a)+(3a)2(a)2383341633=9+(3a)[(3a)(a)a]=9(3a)[a2=a+4]=9(a3+2a2a+12)83388=99393+a(a22a+1)=+a(a1)2≥2282893 ∴a2+b2+c2+abc≥22[評(píng)析]：本題運(yùn)用對(duì)稱性確定符號(hào)，在使用基本不等式可以避開討論?！郺0。所以在運(yùn)用放c+ab[評(píng)析]：本題中為什么要將b+ca與a+bc都放縮為c+ab呢？這是因?yàn)?cab≤0，2abc≥0，而2bac無法判斷符號(hào)，因此縮法時(shí)要注意放縮能否實(shí)現(xiàn)及放縮的跨度。1231。++L++231。232。 247。n16 =+434+43+L+43n1230。 ++231。1432230。N).*證明：(Ⅰ)略(Ⅱ)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí), 1a1+1a2+L1an230。4232。11246。N).*證明：這是一個(gè)常見問題的改編題,我們先給出一般算法： 112+122+L+1n2112+11180。n1n*例16 若Sn=1+12+13+L+1n,n206。2248。247。lnan+n \lnan+1lnan163。1 兩邊取對(duì)數(shù)并利用已知不等式得： lnan+1163。a+163。21(Ⅰ)用數(shù)學(xué)歸納法證明an179。N)n(n+1)2 12+23+Ln(n+1)179。247。n230。247。234。 =21+234。2248。247。1233。254。(t)0。t2232。231。n項(xiàng)和230。1a1219。3,知2a5163。sin22a+： Qa0,b0,a+b163。2248。247。R,abn(n+1)2(+)a1+a+b1+bc1+[4] 若正數(shù)a,b,c滿足a+bc,求證：證明：Qa+bc,\a+bc0。R+(i=1,2,Ln).淺談?dòng)梅趴s法證明不等式 6 求證:證明:Qn=n(n+1)2Sn(n+1)180。235。1247。232。+231。230。231。248。123，淺談?dòng)梅趴s法證明不等式 4 ??, 11+an163。2,\an+1179。amplification and minification。若用裂項(xiàng)法進(jìn)行數(shù)列求和放縮就簡(jiǎn)單 ⒏利用二項(xiàng)式定理展開［例8］已知數(shù)列滿足(n∈N*),是的前n項(xiàng)的和，并且．（1）求數(shù)列的前項(xiàng)的和；（2）證明：≤．（3）求證： 解：(1)由題意得兩式相減得所以再相加所以數(shù)列是等差數(shù)列．又又所以數(shù)列的前項(xiàng)的和為．而≤.（3）證明：點(diǎn)評(píng)：這是一道很有研究?jī)r(jià)值的用放縮法證明不等式的典例。又∵所以∴，∴=7。⒉利用函數(shù)的單調(diào)性［例2］ 求證：對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，恒有。不等式是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的有效工具，在高考試題中不等式的考查是熱點(diǎn)難點(diǎn)。]上是增函數(shù)，取x1=a+b，x2=a+b，顯然滿足0163。證明：由于a2+b2=c2，可設(shè)a=csina，b=ccosa（a為銳角），因?yàn)?sina1，0cosa1，則當(dāng)n179。b時(shí)f（a）f（b）ab。+L+=++L+=，利用已知的公式或恒不等式，把欲證不等式變形后再放縮，可獲簡(jiǎn)解。b+ca+ca+b綜合得1＜若欲證不等式含有與自然數(shù)n有關(guān)的n項(xiàng)和，可采用數(shù)列中裂項(xiàng)求和等方法來解題。下面舉例談?wù)勥\(yùn)用放縮法證題的常見題型。例9 已知a、b、c分別是一個(gè)三角形的三邊之長(zhǎng)，求證：證明：不妨設(shè)據(jù)三角形三邊關(guān)系定理有：便得所以原不等式成立。第一篇：淺談?dòng)梅趴s法證明不等式的方法與技巧淺談?dòng)梅趴s法證明不等式的方法與技巧分類：學(xué)法指導(dǎo)放縮法：為放寬或縮小不等式的范圍的方法。例8（2002年貴州省理21）若證明：因?yàn)樗宰C（當(dāng)且僅當(dāng)（分母有理化）所以原不等式成求證：而所以同理可時(shí)，取等號(hào)）。第二篇：用放縮法證明不等式用放縮法證明不等式蔣文利飛翔的青蛙所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對(duì)照證題目標(biāo)進(jìn)行合情合理的放大和縮小的過程，在使用放縮法證題時(shí)要注意放和縮的“度”，否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨(dú)用來證明不等式，也可以是其他方法證題時(shí)的一個(gè)重要步驟。b+ca+ca+b證明：由于a、b、c為正數(shù)，所以baab＞＞，b+ca+b+ca+ca+b+ccc＞a+ba+b+c，所以abcabc＋＋＞＋＋＝1，又a，b，c為三角形的b+ca+ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋ca+b邊，故b+c＞a，則c2c，＜a+ba+b+ca2a2b為真分?jǐn)?shù)，則a＜，同理b＜，b+ca+b+ca+ca+b+cb+c故abc2a2b2c＋＋＜＋＋=+ca+ca+b+ca+b+ca+b+ca+babc＋＋＜2。n證明：因?yàn)閚(n+1)又n(n+1)1+22=n，所以an1+2+L+n=n(n+1)，n(n+1)+2+32，n(n+1)2n+12(n+1)所以an立。(x)=+x2，求證：當(dāng)a185。3時(shí)，求證：an+bn。x1x2，因?yàn)閤21+x2=x1x2(1+x1)(1+x2)0，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)在[0,+165。第三篇：用放縮法證明不等式1用放縮法證明不等式時(shí)間:20090113 10:47 點(diǎn)擊:1230次不等式是高考數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)，而用放縮法證明不等式學(xué)生更加難以掌握?！?為增函數(shù)，又∵點(diǎn)評(píng)：學(xué)生知道要利用三角形的三邊關(guān)系，但無法找到放縮的方法，難在構(gòu)造函數(shù)。⒋利用絕對(duì)值不等式 ［例4］設(shè)證明：∵=，∴，當(dāng)，時(shí)，總有，求證：。由于n＝1時(shí)符合公式，, ∴ an＝2n－1(n≥1).(2