【正文】 對(duì)所有n都成立，若能注意運(yùn)用變形和放縮等技巧，,n有關(guān)，可考慮用二重?cái)?shù)學(xué)歸納法，即若要證命題P(m,n)對(duì)所有m,n成立，可分兩步：①先證P(1,n),P(m,1)對(duì)所有m,n成立；②設(shè)P(m+1,n),P(m,n+1)成立，證明P(m+1,n+1)，數(shù)學(xué)歸納法與其它方法的綜合運(yùn)用，例如，證明n229。a+b+4(a+b)+8179。a+(1a)+4+8179。252.證法五：(放縮法)∵a+b=1∴左邊＝(a+2)+(b+2)233。.232。+231。R，所以D=442(13y)179。AniBi179。An+nA(n1)B，其中n206。232。2＝右邊.=231。2231。()179。(a)179。證法二：(分析法)252(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，取等號(hào)).(a+2)2+(B+2)179。km)成立可推出P(k+1)成立，則P(n)對(duì)所有不超過m的n都成立.(3)、(反向歸納法)設(shè)有無窮多個(gè)自然數(shù)n(例如n=2m)，使得P(n)成立，且從P(k+1)成立可推出P(k)成立，則P(n)對(duì)所有n成立.(4)、若P(且P(n)對(duì)所有滿足1163。（4）判別式法12342n11 2n2n+1適用于含有兩個(gè)或兩個(gè)以上字母不等式,而另一邊是關(guān)于某字母的二次式時(shí),[6]x2+x+113求證:≤2≤.x+122x2+x+1 證： 設(shè)f(x)=y=2,則(1y)x2+x+1y=0,所以x206。A, 2n352n+12n+12n+1所以A2AB=(180。188。188。R 且a+b+c=1,求證：a2+b2+c2≥.證：a=+α,b=+β,c=+γ, 因?yàn)閍+b+c=1,所以 a+b+g=0于是有a2+b2+c2=+（a+b+g）+（a2+b2+g2）≥.（2）反證法先假設(shè)所要證明的不等式不成立,即要證的不等式的反面成立,然后從這個(gè)假設(shè)出發(fā)進(jìn)行正確的推理,最終推出與已知條件或已知真命題相矛盾的結(jié)論,從而斷定假設(shè)錯(cuò)誤,[5]求證：由小于1的三個(gè)正數(shù)a,b,c所組成的三個(gè)積（1a)b,(1b)c,(1c)a,不能同時(shí)大于證：（反證法）假設(shè)（1a)b,(1b)c,(1c)a都大于則有（1a)b(1b)c(1c)a2***31314141 ① 641a+a246。xi=1,則i=1311127++163。2abc,c(a+b)179。9.（5）利用式的對(duì)稱性證明不等式形如x+y,a2+b2+c2的式子中任意兩個(gè)量交換位置后結(jié)果仍不變,這就是“式”對(duì)稱, 設(shè)a,b,c,d是正數(shù),且滿足a+b+c+d=1,求證 4a+1+4b+1+4c+1+4d+1163。+ann≤a21+a2+188。+(1+1)+(1+）+188。60的為“及格”； 第四篇：不等式的一些證明方法數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))不等式的一些證明方法[摘要]：不等式是數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容,不等式的證明是學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)和難點(diǎn),本文除總結(jié)不等式的常規(guī)證明方法外,給出了不等式相關(guān)的證明方法在具體實(shí)例中的應(yīng)用.[關(guān)鍵詞] 不等式。2ca+c例10：設(shè)n∈N，且n＞1,求證：(1+13)(1+15)…(1+12n1)＞2n+12分析：觀察求證式與n有關(guān)，可采用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，左= 43，右=52∵43＞52∴不等式成立（2）假設(shè)n=k(k≥2，k∈n)時(shí)不等式成立，即（1+13）（1+15）…（1+12k1)＞2k+12 那么當(dāng)n=k+1時(shí)，(1+13)(1+15)…(1+12k1)(1+12k+1)＞2k+121sec2θ=1cos2θcosθ例4，設(shè)a0，b0，a+b=1，證明:(a+1a)2+(B+1b)2≥252證明：∵ a0，b0，a+b=1∴ab≤14或1ab≥4左邊=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+［(a+b)22ab］+(a+b)22aba2b2=4+(12ab)+12aba2b2≥4+(112)+8=252練習(xí)3：已知a、b、c為正數(shù)，n是正整數(shù)，且f(n)=1gan+bn+3求證：2f（n）≤f（2n）4分析法從理論入手，尋找命題成立的充分條件，一直到這個(gè)條件是可以證明或已經(jīng)證明的不等式時(shí)，便可推出原不等式成立，這種方法稱為分析法。（,b,c，且abc=1，求證：11131112++179。ab）(229。0或sa+sb179。0那么 S=AB=S222a(bc)+Sb(ca)+Sc(ab)179。b163。c或a179。b163。0性質(zhì)一：若Sa,Sb,Sc179。c，則Sb179。0且Sa+2Sb,Sc+2Sb179。c，則S2a,Sb179。b179。0Sa(bc)2+Sb(ca)2+Sc(ba)2179。9+k22abca+b+c,b,c，試求最優(yōu)常數(shù)k，使得229。(a+b)22第二篇：證明不等式方法不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，題型廣泛，涉及面廣，證法靈活，錯(cuò)法多種多樣，本節(jié)通這一些實(shí)例，歸納整理證明不等式時(shí)常用的方法和技巧。例6：已知a、b、c、d都是正數(shù)求證： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2分析：觀察式子特點(diǎn)，若將4個(gè)分式商為同分母，問題可解決，要商同分母除通分外，還可用放縮法，但通分太麻煩，故用放編法。cos2θ=sinθ∵0＜θ＜x2，∴ 0＜s2mθ ＜1因此0＜A＜1復(fù)習(xí)6：已知1≤x2+y2≤2，求證：12 ≤x2xy+y2≤3(2)比值換元：對(duì)于在已知條件中含有若干個(gè)等比式的問題，往往可先設(shè)一個(gè)輔助未知數(shù)表示這個(gè)比值，然后代入求證式，即可。2k+3〈二〉(2k+2)2＞(2k+1)(2k+3)〈二〉4k2+8k+4＞4k2+8k+3〈二〉4＞3③∵③成立 ∴②成立，即當(dāng)n=k+1時(shí)，原不等式成立由（1）（2）證明可知，對(duì)一切n≥2（n∈N），原不等式成立練習(xí)8：已知n∈N，且n＞1，求證： 1n+1+1n+2+…+12n＞13249構(gòu)造法根據(jù)求證不等式的具體結(jié)構(gòu)所證，通過構(gòu)造函數(shù)、數(shù)列、合數(shù)和圖形等，達(dá)到證明的目的，這種方法則叫構(gòu)造法。2sinA+B2+c+π322 =4sinπ3=332∴sinA+sinB≠sinC≤332練習(xí)11 在△ABC中，sin A2sinB2sinC2≤184利用均值不等式等號(hào)成立的條件添項(xiàng)例16 ：已知a、b∈R+，a≠b且a+b=1，求證a4+b4＞ 18分析：若取消a≠b的限制則a=b= 12時(shí)，等號(hào)成立證明：∵a、b∈R+∴a4+3(12)4 ≥ 44a4 ［(12)4］3=12a①同理b4+3(12)4 ≥b②∴a4+b4≥12(a+b)6(12)4=126(12)4=18③∵a≠b ∴①②中等號(hào)不成立∴③中等號(hào)不成立∴ 原不等式成立1．是否存在常數(shù)c，使得不等式 x2x+y+yx+2y≤c≤xx+2y+y2x+y對(duì)任意正數(shù)x,y恒成立？ 錯(cuò)解：證明不等式x2x+y+ yx+2y≤xx+2y+y2x+y恒成立，故說明c存在。此方法靈活性大,需反復(fù)練習(xí).（3）分析法：當(dāng)綜合法較困難或行不通時(shí),可考慮此法,（共13頁）AB數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))（4）數(shù)學(xué)歸納法：凡與自然數(shù)n有關(guān)的不等式,可考慮此法,但有時(shí)使用起來比較困難,探求解題途徑 求證 1+2x4179。b時(shí)，（a+）(b+)≥.故可設(shè)a=+xab2411b= x,(|x|且x185。a2+b2+c2+d2ab+bc+cd+da.②若a,b同號(hào),則+≥2；若a,b,c均為正數(shù),則++≥+b2a+b2 ③若是正數(shù),則≥≥ab≥（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)1122+abbaabbacbac成立）a2+b2+c2a+b+c3 若a,b,c是正數(shù),則≥3abc≥11133++abc（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立） 若a,b,c0,且a+