均值不等式的證明(存儲版)
【正文】 法，用G(a)163。231。A(a)，得x+2xx+2x179。再注意到x2+y2=(x+y)22xy=z2+2xy，因而2z2+2xy=x2+y2+z2，于是即得欲證的不等式．此題解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造aaL、an通常需要拓寬思路多次嘗試，此類也屬均值不等式的?？碱愵}． 例3設(shè)x0，證明：2x+2x179。=(2z2+2xy)3，163。(x2+y2+z2)3． 證明當(dāng)x=y=z=0時不等式顯然成立．除此情況外，x、y、z中至少有一正一負(fù)．不妨設(shè)xy0，因為z=(x+y)，所以I=6(x+y+z)=6[x+y(x+y)]=6[3xy(x+y)]=54xyz．若由此直接用G(a)163。G(a)163。,a,b,c,d206。第四篇：不等式證明,均值不等式設(shè)a,b206。引理：設(shè)A≥0，B≥0，則(A+B)^n≥A^n+nA^(n1)B。An+nA(n1)Bn注：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A+B≥0(用數(shù)學(xué)歸納法)。R+，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=L=an時取“=”號僅是上述不等式的特殊情形，即D(1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)由以上簡化，有一個簡單結(jié)論，中學(xué)常用均值不等式的變形：(1)對實數(shù)a,b，有a2+b2179。這些都很簡單的用a+b=√(ab)可以證明得到關(guān)鍵是下面的反向數(shù)學(xué)歸納法如果n成立對n1，你令an=(n1)次√(a1a2...a(n1)然后代到已經(jīng)成立的n的式子里，整理下就可以得到n1也成立。請賜教!sqrt{}≥(a1+a2+..an)/n≥n次根號(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)證明：(((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)/n)≥(a1+a2+..an)/n兩邊平方,即證((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)≥(a1+a2+..an)^2/n(1)如果你知道柯西不等式的一個變式，直接代入就可以了：柯西不等式變式：a1^2/b1+a2^2/b2+...an^2/bn≥(a1+a2+...an)^2/(b1+b2...+bn)當(dāng)且僅當(dāng)a1/b1=a2/b2=...=an/bn是等號成立只要令b1=b2=...=bn=1，代入即可(2)柯西不等式(a1^2+a2^2+...an^2)*(b1+b2...+bn)≥(a1b1+a2b2+...anbn)^22.(a1+a2+..an)/n≥n次根號(a1a2a3..an)(1)琴生不等式:若f(x)在定義域內(nèi)是凸函數(shù)，則nf((x1+x2+...xn)/n)≥f(x1)+f(x2)+...f(xn)令f(x)=lgx顯然，lgx在定義域內(nèi)是凸函數(shù)nf((x1+x2+...xn)/n)=nlg≥f(x1)+f(x2)+...f(xn)=lga1+lga2+lga3...lgan=lga1*a2..an也即lg≥1/n(lga1a2a3...an)=lg(a1a2a...an)^(1/n)=lgn次根號(a1a2..an)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以(a1+a2+..an)/n≥n次根號(a1a2..an)(2)原不等式即證：a1^n+a2^n+...an^n≥na1a2a3...an先證明a^n+b^n≥a^(n1)b+b^(n1)a做差(ab)(a^(n1)b^(n1))≥0
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