【正文】 數(shù)量積的性質(zhì), 求證：求證1≤ 1x2x≤2++179。、小結(jié)證明不等式的途徑是對(duì)原不等式作代數(shù)變形,在初等數(shù)學(xué)中常用的第11頁（共13頁）1a1b1c數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))方法大致有放縮法、代換法、歸納法、,僅在中學(xué)教科書上就有很多方法,但還不足以充分開拓人們的思維,為此,我們要進(jìn)一步探究不等式的證明方法,[1] [J].教學(xué)月刊(中學(xué)版),2007(6).[2] [J].襄樊職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2007(4).[3] [J].中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊,2007(26).[4] 郭煜,張帆不等式證明的常見方法[J].高等函授學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2007(4).[5] [J].數(shù)學(xué)愛好者(高二版),2007(7).[6] [J].張家口職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2007(1).[7] [J].中國(guó)科技信息,2007(18).[8] 劉玉璉,[M].北京:高等教育出版第12頁（共13頁）數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))社,1988,P201211.[9] [J].承德民族師專學(xué)報(bào),2006(2).[10] [J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,1995(2).第13頁（共13頁）第五篇：不等式的證明方法幾個(gè)簡(jiǎn)單的證明方法一、比較法：ab等價(jià)于ab0；而ab0等價(jià)于ab，關(guān)鍵是要作適當(dāng)?shù)淖冃?，如因式分解、拆?xiàng)、加減項(xiàng)、通分等，、綜合法與分析法：綜合法是由因?qū)Ч?，即是由已知條件和已知的不等式出發(fā)，推導(dǎo)出所要證明的不等式；分析法是執(zhí)果索因，即是要逐步找出使結(jié)論成立的充分條件或者充要條件，：第一，要熟悉掌握第一章的基本不等式和后面各章中著名的各種不等式；第二，要善于利用題中的隱含條件；第三，、反證法：，從原不等式的結(jié)論的反面出發(fā)，通過合理的邏輯推理導(dǎo)出矛盾，、放縮法：要證ab，又已知(或易證)ac，則只要證cb，這是利用不等式的傳遞性，將原不等式里的某些項(xiàng)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小，： ①添加或舍去一些項(xiàng)，如：a2+1a；n(n+1)n；②將分子或分母放大（或縮小）；③利用基本不等式，如：log3lg5（n(n+1)lg3+lg522)2=lglg=lg4； n+(n+1)；④利用常用結(jié)論：k+1k=1k+1+=1k11k1k12k1k；1k(k+1)1k+11k1k+11k1k(k1)1k；=（程度大）1k1=(k1)(k+1)=2k1（)；（程度?。┪?、換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，：已知x2+y2=a2，可設(shè)x=acosq,y=asinq；已知x2+y2163。1，可設(shè)x=rcosq,y=rsinq(0163。r163。1)； 已知xaxa2+ybyb=1，可設(shè)x=acosq,y=bsinq；已知=1，可設(shè)x=asecq,y=btanq；六、數(shù)學(xué)歸納法法：與自然數(shù)n有關(guān)的許多不等式，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明，：第一，：設(shè)P(n)是與n有關(guān)的命題，則(1)、設(shè)P(n0)成立，且對(duì)于任意的kn0，從P(k)成立可推出P(k+1)成立，則P(n)對(duì)所有大于n0的n都成立.(2)、設(shè)m是任給的自然數(shù)，若P(1)成立，且從P(k)(1163。km)成立可推出P(k+1)成立，則P(n)對(duì)所有不超過m的n都成立.(3)、(反向歸納法)設(shè)有無窮多個(gè)自然數(shù)n(例如n=2m)，使得P(n)成立，且從P(k+1)成立可推出P(k)成立，則P(n)對(duì)所有n成立.(4)、若P(且P(n)對(duì)所有滿足1163。n163。k的n成立可推出P(k+1)成立，1)成立，則P(n)對(duì)所有n成立.(5)、(最小數(shù)原理)自然數(shù)集的非空子集中必有一個(gè)最小數(shù).(6)、若P)且若P(k),P(k+1)成立可推出P(k+2)成立，則P(n)1(,P(2)成立，對(duì)所有n成立.(7)、(無窮遞降法)若P(n)對(duì)某個(gè)n成立可推出存在n1n，使得P(n1)成立，則P(n)，還有螺旋歸納法(又叫翹翹板歸納法)：設(shè)有兩個(gè)命題P(n),Q(n)，若P(1)成立，又從P(k)成立可推出Q(k)成立，并且從Q(k)成立可推出P(k+1)成立，其中k為任給自然數(shù)，則P(n),Q(n)對(duì)所有n都成立，，若能注意運(yùn)用變形和放縮等技巧，,n有關(guān)，可考慮用二重?cái)?shù)學(xué)歸納法，即若要證命題P(m,n)對(duì)所有m,n成立，可分兩步：①先證P(1,n),P(m,1)對(duì)所有m,n成立；②設(shè)P(m+1,n),P(m,n+1)成立，證明P(m+1,n+1)，數(shù)學(xué)歸納法與其它方法的綜合運(yùn)用，例如，證明n229。k=11ksinkx0,(0xp)就要綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，反證法與極值法；有時(shí)可將n換成連續(xù)量x，、構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式；證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法．要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點(diǎn)．、利用基本不等式：善于利用已知不等式，特別是基本不等式去發(fā)現(xiàn)和證明新的不等式，例1 已知a，b206。R，且a+b=：(a+2)+(b+2)179。252.證法一：(比較法)Qa,b206。R,a+b=1\b=1a\(a+2)+(b+2)252=a+b+4(a+b)12=2(a12)179。0=a+(1a)+4=2a2a+即(a+2)2+(b+2)2179。證法二：(分析法)252(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，取等號(hào)).(a+2)2+(B+2)179。252220。a+b+4(a+b)+8179。252236。b=1a239。220。237。225122220。(a)179。0239。a+(1a)+4+8179。22238。顯然成立，：分析法是基本的數(shù)學(xué)方法，使用時(shí)，要保證“后一步”是“前一步”：(綜合法)由上分析法逆推獲證(略).證法四：(反證法)假設(shè)(a+2)2+(b+2)2252，則 a2+b2+4(a+b)+8252252.由a+b=1，得b=1a，于是有a2+(1a)2+121246。230。所以(a)0，這與231。a247。179。.所以(a+2)+(b+2)179。252.證法五：(放縮法)∵a+b=1∴左邊＝(a+2)+(b+2)233。(a+2)+(b+2)249。2125179。2234。=a+b+4=233。249。()235。222235。＝右：根據(jù)不等式左邊是平方和及a+b=1這個(gè)特點(diǎn)，選用基本不等式230。a+b246。a+b179。2231。247。.232。2248。證法六：(均值換元法)∵a+b=1，所以可設(shè)a=12+t，b=t，1∴左邊＝(a+2)+(b+2)=(+t+2)2+(t+2)25246。5246。2525230。230。2＝右邊.=231。t+247。+231。t247。=2t+179。2248。2248。22232。232。當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)，：形如a+b=1結(jié)構(gòu)式的條件，：(利用一元二次方程根的判別式法)設(shè)y=(a+2)+(b+2)，由a+b=1，有y=(a+2)2+(3a)2=2a22a+13，所以2a22a+13y=0，因?yàn)閍206。R，所以D=442(13y)179。0，即y179。故(a+2)+(b+2)179。252.252.下面，：設(shè)A179。0，B179。0，則(A+B)n179。An+nA(n1)B，其中n206。N+.證明：由二項(xiàng)式定理可知n(A+B)=229。AniBi179。An+nA(n1)Bni=0\(A+B)179。A+nAnn(n1)B