【正文】 b+c=1,求證 ++179。=422即 4a+1+4b+1+4c+1+4d+1163。（共13頁）數學系數學與應用數學專業(yè)2009級年論文(設計)(1+11112)(1+)=1+++（9）利用極限證明不等式[2]證明：當x2(1+2)時,有(2x1)+2(2x3)+3(2x5)+....+xx3證： 在x0的情況下討論,令f(x)=(2x1)+(2x3)+3(2x5)+....+x,g(x)=x3則 f(x)=x(x+1)(2x+1)，6x(x+1)(2x+1)f(x)16于是 lim =lim=x174。x1ii22331+xi1+xi10111927++163。247。180。,因此AB，23452n2n+113242n1242n2n1)(180。180。a2+ab+b2=a+b, 于是(a+b)2 a2+ab+b2=a+b,則(a+b)1,又(a+b)24ab，(a+b)2 而(a+b)=a+2ab+b=a+b+aba+b+422243即(a+b)2a+b,所以（a+b), 綜上所述, 1a+b（6）向量法向量這部分知識由于獨有的形與數兼?zhèn)涞奶攸c,使得向量成了數形結合的橋梁,若借助向量的數量積的性質, 求證：求證1≤ 1x2x≤2++179。k=11ksinkx0,(0xp)就要綜合運用數學歸納法，反證法與極值法；有時可將n換成連續(xù)量x，、構造法：通過構造函數、方程、數列、向量或不等式來證明不等式；證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數學歸納法仍是證明不等式的最基本方法．要依據題設、題斷的結構特點、內在聯系，選擇適當的證明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟，技巧和語言特點．、利用基本不等式：善于利用已知不等式，特別是基本不等式去發(fā)現和證明新的不等式，例1 已知a，b206。252236。22238。(a+2)+(b+2)249。222235。2248。t247。0，即y179。An+nA(n1)Bni=0\(A+B)179。0，則(A+B)n179。22232。230。a+b179。249。a247。225122220。0=a+(1a)+4=2a2a+即(a+2)2+(b+2)2179。1)； 已知xaxa2+ybyb=1，可設x=acosq,y=bsinq；已知=1，可設x=asecq,y=btanq；六、數學歸納法法：與自然數n有關的許多不等式，可考慮用數學歸納法證明，：第一，：設P(n)是與n有關的命題，則(1)、設P(n0)成立，且對于任意的kn0，從P(k)成立可推出P(k+1)成立，則P(n)對所有大于n0的n都成立.(2)、設m是任給的自然數，若P(1)成立，且從P(k)(1163。180。)=222。180。180。21=2[4]設a,b,c206。3x3按極限的定義,對于e=,取d=2(1+2)當|x|d=2(1+2)有f(x)11e= , g(x)3414即 0f(x)71 從而f(x)g(x),(x)12（10）利用平分法證明不等式 若x0,i=1,2,3,且229。2abc2222b(c+a)179。1111111++++abcabc1a1b1c即 ++179。an≤a1+a2+188。2x3+x2 證明 n(n+1)n+1+++....+(n1).分析 題中含n,但此題用數學歸納法不易證明,++188。正解：應用比較法：yn1xn+xn1yn1x1y=(xnyn)(xn1yn1)xnyn① 當x0,y0時，(xnyn)(xn1yn1)≥ 0，(xy)n 0所以(xnyn)(xn1yn1)xnyn≥0故：yn1xn+xn1yn≥ 1x1y② 當x,y有一個是負值時，不妨設x0,y0，所以x|y|又n為偶數時,所以(xnyn)(xn1yn1)0 又(xy)n 0，所以(xnyn)(xn1yn1)xnyn ≥0即 yn1xn+xn1yn≥ 1x1y綜合①②知原不等式成立第三篇：不等式證明若干方法安康學院 數統(tǒng)系數學與應用數學 專業(yè) 11 級本科生論文（設計）選題實習報告11級數學與應用數學專業(yè)《科研訓練2》評分表注：綜合評分179。2bc+b用數學歸納法證題時的兩個步驟缺一不可。1x，求證0＜A＜1證明： ∵x，y∈R+，且xy=1，x=secθ，y=tanθ，（0＜θ＜xy）∴ A=(secθ1secθ(tanθ+1tanθ∵（a3+b3)(a2b+ab2)=a2(ab)b2(ab)=(ab)(a2b2)證明： =(ab)2(a+b)又∵(ab)2≥0a+b≥0∴(ab)2(a+b)≥0即a3+b3≥a2b+ab2例2 設a、b∈R+，且a≠b，求證：aabb＞abba分析：由求證的不等式可知，a、b具有輪換對稱性，因此可在設a＞b＞0的前提下用作商比較法，作商后同“1”比較大小，從而達到證明目的，步驟是：10作商20商形整理30判斷為與1的大小證明：由a、b的對稱性，不妨解a＞b＞0則aabbabba=aabbba=(ab)ab∵ab0，∴ab1，ab0∴(ab)ab(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba練習1 已知a、b∈R+，n∈N，求證（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）2基本不等式法利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及變形有：（1）若a、b∈R，則a2+b2≥2ab（當且僅當a=b時，取等號）（2）若a、b∈R+，則a+b≥ 2ab（當且僅當a=b時，取等號）（3）若a、b同號，則 ba+ab≥2（當且僅當a=b時，取等號）例3 若a、b∈R，｜a｜≤1，｜b｜≤1則a1b2+b1a2≤1分析：通過觀察可直接套用： xy≤x2+y22證明： ∵a1b2b1a2≤a2+(1b2)2+b2(1a2)2=1∴b1a2+a1b2≤1，當且僅當a1+b2=1時，等號成立練習2：若 ab0，證明a+1(ab)b≥33綜合法綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發(fā)，根據不等式性質推算出要證明不等式。229。max{a,b,c}4 2191(ab)求證（229。aab（3）sc+sb179。且滿足（1）Sa+Sb,Sb+Sc,Sc+Sa0，（2）SaSb+SbSc+ScSa179。且滿足若a163。b163。0，（2）若a163。0，則S=AB=Sa(bc)+Sb(ca)+Sc(ab)179。0, 那么S=AB=S222a(bc)+Sb(ca)+Sc(ab)179。0，那么 S=AB=Sa(bc)2+S2b(ca)+Sc(ab)2179。0且bSc+c2Sb179。c（2）存在a0,使得若S22a+aSc+(a+1)Sb179。0S=AB=(ab)2+(ac)2+(cb)2(1)a+b+cabbcac=2(2a+b)(ab)2+(2b+c)(cb)2+(2c+a)(ac)2333222(2)a+b+cabbcac=3 222(ab)+(ac)+(cb)(3)a3+b3+c33abc=(a+b+c)2(ab)3+(ac)3+(cb)3222222(4)ab+bc+caabbcca=3222(5)a4+b4+c4a3bb3cc3a=(3a2+2ab+b2)(ab)2+(3b2+2cb+c2)(cb)2+(3c2+2ac+a2)(ac)2a+b+c(6)a3b+b3c+c3ab3ac3ba3c=3[(ab)3+(a