【正文】 淮南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系摘要：本文介紹了放縮法的基本概念, 在此基礎(chǔ)上總結(jié)出增減放縮法、公式放縮法、利用函數(shù)的性質(zhì)放縮和綜合法等用放縮法證明不等式的常用技巧,以及數(shù)列不等式證明中放縮法的應(yīng)用,。由于n＝1時(shí)符合公式，, ∴ an＝2n－1(n≥1).(2)Tn＝, , ∴ Tn＝ 兩式相減得Tn＝＋＝＋(1－)－, ∴ Tn＝＋(1－)－⒎ 利用裂項(xiàng)法求和［例7］已知函數(shù)在上有定義，且滿足①對(duì)任意的②當(dāng)證明：，則.，則，故.在，且由可得，則由題有，即從而函數(shù)在時(shí)，.，所以為，即.點(diǎn)評(píng)：本題將數(shù)列與不等式、函數(shù)綜合考查數(shù)學(xué)邏輯推理能力，分析問(wèn)題能力，變形能力，可以用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，但學(xué)生解題的過(guò)程不過(guò)完善。證明：=，利用不等式∴﹤=﹤。⒋利用絕對(duì)值不等式 ［例4］設(shè)證明：∵=，∴，當(dāng)，時(shí)，總有，求證：。故原不等式成立?！?為增函數(shù)，又∵點(diǎn)評(píng)：學(xué)生知道要利用三角形的三邊關(guān)系，但無(wú)法找到放縮的方法，難在構(gòu)造函數(shù)。本難點(diǎn)著重培養(yǎng)考生數(shù)學(xué)式的變形能力，邏輯思維能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。第三篇：用放縮法證明不等式1用放縮法證明不等式時(shí)間:20090113 10:47 點(diǎn)擊:1230次不等式是高考數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)，而用放縮法證明不等式學(xué)生更加難以掌握。f(|a|+|b|)，即|a+b|1+|a+b|163。x1x2，因?yàn)閤21+x2=x1x2(1+x1)(1+x2)0，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)在[0,+165。b∈R，求證x1+xa+b1+a+b163。3時(shí)，求證：an+bn。bc，求證1ab+1bc+1ca0。(x)=+x2，求證：當(dāng)a185。3都有f(n)nn+1。n證明：因?yàn)閚(n+1)又n(n+1)1+22=n，所以an1+2+L+n=n(n+1)，n(n+1)+2+32，n(n+1)2n+12(n+1)所以an立。例n(n+1)25.an已知(n+1)2n206。b+ca+ca+b證明：由于a、b、c為正數(shù)，所以baab＞＞，b+ca+b+ca+ca+b+ccc＞a+ba+b+c，所以abcabc＋＋＞＋＋＝1，又a，b，c為三角形的b+ca+ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋ca+b邊，故b+c＞a，則c2c，＜a+ba+b+ca2a2b為真分?jǐn)?shù)，則a＜，同理b＜，b+ca+b+ca+ca+b+cb+c故abc2a2b2c＋＋＜＋＋=+ca+ca+b+ca+b+ca+b+ca+babc＋＋＜2。3證明：由題設(shè)得a2＋ab＋b2＝a＋b，于是（a＋b）2＞a2＋ab＋b2＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又ab＜（a＋b），而（a＋b）＝a＋b＋ab＜a＋b＋＋b）2＜a＋b，所以a＋b＜、b、c不全為零，求證：a2+ab+b2+b2+bc+c2+c2+ac+a2＞3（a+b+c）21422132（a＋b），即（a4444，故有1＜a＋b＜。第二篇：用放縮法證明不等式用放縮法證明不等式蔣文利飛翔的青蛙所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對(duì)照證題目標(biāo)進(jìn)行合情合理的放大和縮小的過(guò)程，在使用放縮法證題時(shí)要注意放和縮的“度”，否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨(dú)用來(lái)證明不等式，也可以是其他方法證題時(shí)的一個(gè)重要步驟。例12 求證證明：因?yàn)樽ⅲ悍趴s法的理論依據(jù)，是不等式的傳遞性，即若所以左邊則。例8（2002年貴州省理21）若證明：因?yàn)樗宰C（當(dāng)且僅當(dāng)（分母有理化）所以原不等式成求證：而所以同理可時(shí)，取等號(hào)）。常用的放縮技巧還有：（1）若（2），欲尋找一個(gè)（或多個(gè)）中間變量C，使，由A到C叫（3）若則（4）（5）（6）或（7）等。第一篇：淺談?dòng)梅趴s法證明不等式的方法與技巧淺談?dòng)梅趴s法證明不等式的方法與技巧分類(lèi)：學(xué)法指導(dǎo)放縮法：為放寬或縮小不等式的范圍的方法。用放縮法證明下列各題。例9 已知a、b、c分別是一個(gè)三角形的三邊之長(zhǎng)，求證：證明：不妨設(shè)據(jù)三角形三邊關(guān)系定理有：便得所以原不等式成立。使用放縮法時(shí)，“放”、“縮”都不要過(guò)頭。下面舉例談?wù)勥\(yùn)用放縮法證題的常見(jiàn)題型。33證明：因?yàn)閍2+ab+b2=同理b2+bc+c2＞b+c，2（a+b23）+b2＞42（a+b2）2=a+bb≥a+，22c2+ac+a2＞c+a。b+ca+ca+b綜合得1＜若欲證不等式含有與自然數(shù)n有關(guān)的n項(xiàng)和，可采用數(shù)列中裂項(xiàng)求和等方法來(lái)解題。N*且an=180。+L+=++L+=，利用已知的公式或恒不等式，把欲證不等式變形后再放縮，可獲簡(jiǎn)解。nn+1=(122+1n)(11n+1)=1n+122+1n=2(2n+1)(n+1)(2+1)nn又因?yàn)閚206。b時(shí)f（a）f（b）ab。證明：因?yàn)閍bc，所以可設(shè)a=c+t，b=c+u(tu0)，所以tu0則1ab+1bc+1ca=1tu+1u1t1u1t=tutu0，即1ab+1bc+1ca0。證明：由于a2+b2=c2，可設(shè)a=csina，b=ccosa（a為銳角），因?yàn)?sina1，0cosa1，則當(dāng)n179。a1+a+b1+b。]上是增函數(shù)，取x1=a+b，x2=a+b，顯然滿足0163。|a|+|b|1+|a|+|b|=|a|1+|a|+|b|+|b|1+|a|+|b|163。不等式是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的有效工具，在高考試題中不等式的考查是熱點(diǎn)難點(diǎn)。放縮法的理論依據(jù)是不等式性質(zhì)的傳遞性，難在找中間量，難在怎樣放縮、怎樣展開(kāi)。⒉利用函數(shù)的單調(diào)性［例2］ 求證：對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，恒有。點(diǎn)評(píng)：一開(kāi)始學(xué)生就用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嘗試，結(jié)果失敗，就放棄了。又∵所以∴，∴=7。點(diǎn)評(píng)：有些學(xué)生兩次用錯(cuò)位相減進(jìn)行放縮，但是沒(méi)有找到恰當(dāng)?shù)淖冃畏趴s，對(duì)利用不等式進(jìn)行放縮不熟悉。若用裂項(xiàng)法進(jìn)行數(shù)列求和放縮就簡(jiǎn)單 ⒏利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)［例8］已知數(shù)列滿足(n∈N*),是的前n項(xiàng)的和，并且．（1）求數(shù)列的前項(xiàng)的和；（2）證明：≤．（3）求證： 解：(1)由題意得兩式相減得所以再相加所以數(shù)列是等差數(shù)列．又又所以數(shù)列的前項(xiàng)的和為．而≤.（3）證明：點(diǎn)評(píng)：這是一道很有研究?jī)r(jià)值的用放縮法證明不等式的典例。關(guān)鍵詞：不等式。amplification and minification。3(ab+bc+ca)=333\a+b+c179。2,\an+1179。21+a111，122163。123，淺談?dòng)梅趴s法證明不等式 4 ??, 11+an163。163。248。N，*,n179。231。kk+1248。230。230。+231。232。1247。R,ab(+), 均值不等式例5 若n206。235。2+2180。R+(i=1,2,Ln).淺談?dòng)梅趴s法證明不等式 6 求證:證明:Qn=n(n+1)2Sn(n+1)180。(n+1) =32+52+L2n+12 n(n+1)2(n+1)22 又Sn=1180。R,abn(n+1)2(+)a1+a+b1+bc1+[4] 若正數(shù)a,b,c滿足a+bc,求證：證明：Qa+bc,\a+bc0。lg8246。247。247。2248。1,|cosx|163。sin22a+： Qa0,b0,a+b163。1cos(a+b)=sin2a+b2.(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)). 利用一般函數(shù)的性質(zhì) 求證a163。3,知2a5163。f(x)f(y)163。1a1219。t1246。n項(xiàng)和230。231。231。n230。t22