【正文】 122+132+L+1n2163。1n247。11246。+lnann2248。2n+n2248。246。1) a+247。n 綜合法對于比較復(fù)雜的不等式證明,(1985年高考題)證明：Qn(n+1)179。n1230。235。n =2234。2248。1246。2248。234。2n+即an163。232。(t)0；當1t163。+n+1247。:令f(t)=1230。[,2],Tn是{an}的前n247。R，1a|f(x)f(y)|1219。1f(n+1)f(n)==213n+2+13n+3+3n+41n+13(n+1)(3n+2)(3n+4)0.\f(n+1)f(n)，f(n)是增函數(shù),其最小值為f(1),f(n)min=f(1)=12+13+14=1312，淺談用放縮法證明不等式 8 故對一切自然數(shù),f(n)179。[5] 已知a,b為整數(shù),并且a+b163。248。lg9246。3+L+n180。(n+1)n?均值不等式： a1a2Lan163。(n+1)(2n+1)249。1246。232。231。230。N).*證明：Q1(2k+1)219+125(2k+1)211=14k(k+1)=1230。1++2+L+n1247。11+a111+a1, 163。n+2(n=1,2,3,L),求證：11+a1+11+a2+11+a3+L+11+an163。技巧。⒍ 利用錯位相減法求和相結(jié)合，再利用等比數(shù)列［例6］已知a1, a2, a3, ??, an, ??構(gòu)成一等差數(shù)列，其前n項和為Sn＝n2, 設(shè)bn＝記{bn}的前n項和為Tn,(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)證明：Tn解：(1)a1＝S1＝1, 當n≥2時, an＝Sn－Sn－1＝2n－1。⒊利用基本不等式［例3］已知f（x）=x+證明：設(shè)（1）+（2）得(x﹥0)求證：－，（1）（2）點評：用數(shù)學(xué)歸納法證明，思路簡單，但是難度很大，可以通過二項式定理展開，倒序法與基本不等式相結(jié)合進行放縮。⒈利用三角形的三邊關(guān)系［例1］ 已知a，b，c是△ABC的三邊，求證：證明：∴﹥。證畢。0)，首先判斷其單調(diào)性，設(shè)0163。N*且n179。3，所以只須證2n2n+1，又因為，n=(1+1)n=Cn+Cn+Cn+L+Cnn1+Cnn=1+n+n(n1)+L+n+12n+1所以f(n)nn+1。3+L+n(n+1)，求證：對所有正整數(shù)n都成立。、b、c為三角形的三邊，求證：1＜abc＋＋＜2。常用的有“添舍放縮”和“分式放縮”，都是用于不等式證明中局部放縮。當所以（放大），所以函數(shù)y的最大值是例7 求證：證明：因為立。常用在多項式中“舍掉一些正（負）項”而使不等式各項之和變?。ù螅颉霸诜质街蟹糯蠡蚩s小分式的分子分母”，或“在乘積式中用較大（較?。┮蚴酱妗钡刃Хǎ_到其證題目的。例10（1999年湖南省理16）求證：證明：因為又所以原不等式成立。一.“添舍”放縮通過對不等式的一邊進行添項或減項以達到解題目的，這是常規(guī)思路?！蔔*，求1+1n?+1n2n+n++?+1n＜2n。(x)=證明：由題意知f(n)nn+1=212+1nn212+1xx，證明：對于n206。證f（a）f（b）=1+a2+b2=明a2b2+a：++b=a+bab+ab2+1+a+baba+b(a+b)aba+b=ab證畢。3時，sinnasin2a，cosnacos2a，所以an+bn=(sinna+cosna)(sin2a+cos2a)=。x1163。本難點著重培養(yǎng)考生數(shù)學(xué)式的變形能力不等式是高考數(shù)學(xué)中的難點，而用放縮法證明不等式學(xué)生更加難以掌握。證明： 原不等式變形為，令 則，所以。點評：本題是一道函數(shù)與絕對值不等式綜合題，學(xué)生不能找到解題的突破口，關(guān)鍵在于找到a，b，c與f（0），f（1），f（1）的聯(lián)系，再利用絕對值內(nèi)三角形不等式適當放縮?？疾榱伺c an 的關(guān)系，有些學(xué)生沒有對an中的n進行討論，也沒有合并，雖用了二項式展開，但無法構(gòu)造不等式進行放縮。skill。2an+1,\1+an+1179。11163。1+a11=11n21163。247。11246。247。23248。,4232。16n(n+1)(n+2)(n+1)(2n+1)n233。nn(n+1)n+(n+1)2 \Sn=1180。\c1+cc+(a+bc)1+c+(a+bc)=a1+a+b+b1+a+ba1+a+b1+b， 利用函數(shù)的性質(zhì) 利用特殊函數(shù)的單調(diào)性這里的特殊函數(shù)主要指一些已知單調(diào)性的函數(shù), 求證：log23：我們先給出常規(guī)解法；log23log34=lg3lg2lg4lg32=lg3lg2lg4lg2lg322，230。=231。232。p，\sina0,sinb0,cos(a+b)cos(ab)163。1,比較得： 當a163。a 已知an=1230。2246。t+n247。t248。12從而可知f(t)在[,1]上遞減,在[1,2]上遞增,故：{f(t)}max=max237。236。111230。+L+231。1231。1246。 =2n231。1+2+L+n= 而n(n+1)n(n+1)2 ①1+22+2+32+Ln+(n+1)2 \12+23+Ln(n+1)淺談用放縮法證明不等式 10 = =32+52+L2n+1212+32+52+L2n+12 ②(1+2n+1)(n+1)22=(n+1)①中運用了增減放縮法,② 數(shù)列{an}滿足a1=1且an+1=231。2(n179。1++247。ln231。12,(n179。2232。+L++1n1n12=1+12 11 數(shù)列不等式的證明在數(shù)列不等式的證明中,我們大量采用放縮法,“疊加”模型的數(shù)列不等式,可以利用放縮法對疊加的數(shù)列進行化簡,“疊加”模型指的是形如：a1+a2+L+an163。N求證：2(n+11)Sn2n證明：Q1k=2k+1kk2k+2k+kk1=2(kk1) 又Q=2k+k+1=2(k+1k) 當k=1,2,3,L,n1,n時, 2(21) 2(32) ??11122((10)221)淺談用放縮法證明不等式 12 2(nn1) 2(n+1n)1n11n22(n1n2)(nn1) 將上式相加,得到：2(n+11)Sn,放縮的主要目的是使不等式裂項相消,也可以組成等差、等比數(shù)列,利用公式求和,或者運用根式有理化后的放縮,探索n項相加的遞推式, 調(diào)整放縮量的大小放縮量的大小,即放縮的“精確度”,縮小多少,把握“度”的火候, 已知Sn=1+(Ⅰ)Sn179。21n+12180。230。23248。11246。1230。a247。1246。248。1a2248。a231。1n+1247。例2：設(shè)a、b、c是三角形的邊長，求證abc(bc)2+(ca)2+(ab)2≥ b+cc+aa+b1 [(ab)2+(bc)2+(ca)2]3證明：由不等式的對稱性，不防設(shè)a≥b≥c，則3abc0,3bca≥b+c+cca=b+ca0左式－右式=3abc3bca3cab(bc)2+(ca)2+(ab)2 b+ca+ca+b3bca3cab(ca)2+(ab)2 a+ba+b2(b+ca)3bca3cab(ab)2+(ab)2=(ab)2≥0 a+ba+ba+b ≥ ≥[評析]：本題中放縮法的第一步“縮”了兩個式了，有了一定的難度。33a+b23a23434)≥bc，即()≥bc，也即bc(a)≥(3a)2(a)