【正文】 ), 綜上所述, 1a+b（6）向量法向量這部分知識由于獨有的形與數(shù)兼?zhèn)涞奶攸c,使得向量成了數(shù)形結合的橋梁,若借助向量的數(shù)量積的性質(zhì), 求證：求證1≤ 1x2x≤2++179。180。,因此AB，23452n2n+113242n1242n2n1)(180。180。247。x1ii22331+xi1+xi10111927++163。（共13頁）數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設計)(1+11112)(1+)=1+++（9）利用極限證明不等式[2]證明：當x2(1+2)時,有(2x1)+2(2x3)+3(2x5)+....+xx3證： 在x0的情況下討論,令f(x)=(2x1)+(2x3)+3(2x5)+....+x,g(x)=x3則 f(x)=x(x+1)(2x+1)，6x(x+1)(2x+1)f(x)16于是 lim =lim=x174。=422即 4a+1+4b+1+4c+1+4d+1163。a2+b2+c2+d2ab+bc+cd+da.②若a,b同號,則+≥2；若a,b,c均為正數(shù),則++≥+b2a+b2 ③若是正數(shù),則≥≥ab≥（當且僅當a=b時等號1122+abbaabbacbac成立）a2+b2+c2a+b+c3 若a,b,c是正數(shù),則≥3abc≥11133++abc（當且僅當a=b=c時等號成立） 若a,b,c0,且a+b+c=1,求證 ++179。b時，（a+）(b+)≥.故可設a=+xab2411b= x,(|x|且x185。此方法靈活性大,需反復練習.（3）分析法：當綜合法較困難或行不通時,可考慮此法,（共13頁）AB數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設計)（4）數(shù)學歸納法：凡與自然數(shù)n有關的不等式,可考慮此法,但有時使用起來比較困難,探求解題途徑 求證 1+2x4179。2sinA+B2+c+π322 =4sinπ3=332∴sinA+sinB≠sinC≤332練習11 在△ABC中，sin A2sinB2sinC2≤184利用均值不等式等號成立的條件添項例16 ：已知a、b∈R+，a≠b且a+b=1，求證a4+b4＞ 18分析：若取消a≠b的限制則a=b= 12時，等號成立證明：∵a、b∈R+∴a4+3(12)4 ≥ 44a4 ［(12)4］3=12a①同理b4+3(12)4 ≥b②∴a4+b4≥12(a+b)6(12)4=126(12)4=18③∵a≠b ∴①②中等號不成立∴③中等號不成立∴ 原不等式成立1．是否存在常數(shù)c，使得不等式 x2x+y+yx+2y≤c≤xx+2y+y2x+y對任意正數(shù)x,y恒成立？ 錯解：證明不等式x2x+y+ yx+2y≤xx+2y+y2x+y恒成立，故說明c存在。2k+3〈二〉(2k+2)2＞(2k+1)(2k+3)〈二〉4k2+8k+4＞4k2+8k+3〈二〉4＞3③∵③成立 ∴②成立，即當n=k+1時，原不等式成立由（1）（2）證明可知，對一切n≥2（n∈N），原不等式成立練習8：已知n∈N，且n＞1，求證： 1n+1+1n+2+…+12n＞13249構造法根據(jù)求證不等式的具體結構所證，通過構造函數(shù)、數(shù)列、合數(shù)和圖形等，達到證明的目的，這種方法則叫構造法。cos2θ=sinθ∵0＜θ＜x2，∴ 0＜s2mθ ＜1因此0＜A＜1復習6：已知1≤x2+y2≤2，求證：12 ≤x2xy+y2≤3(2)比值換元：對于在已知條件中含有若干個等比式的問題，往往可先設一個輔助未知數(shù)表示這個比值，然后代入求證式，即可。例6：已知a、b、c、d都是正數(shù)求證： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2分析：觀察式子特點，若將4個分式商為同分母，問題可解決，要商同分母除通分外，還可用放縮法，但通分太麻煩，故用放編法。參考文獻：[1]中學數(shù)學研究 [2]中學教研 [3]中學數(shù)學教學 [4]高中數(shù)學 第二篇：證明不等式方法不等式的證明是高中數(shù)學的一個難點，題型廣泛，涉及面廣，證法靈活，錯法多種多樣，本節(jié)通這一些實例，歸納整理證明不等式時常用的方法和技巧。1246。+yi,22232。x247。z+x246。231。同理:y2+z2+yz=230。232。2n1nB2=2n1n(n+1+A)2從而易推得A179。n1+2nxi230。R2,且x+x+L+xn=1.求證x2n1x+x11x+L+x21x179。因此x(1x)163。234。R+且x4+y4+z4=證x3z31x+y31y+1z179。+u+v+232。232。同理1+cosB179。u2u230。例,b,g206。q163。例179。16231。x+y+9y246。yz247。1230。b 48證：令b+3c=,則x+a9cb+3c+b8c+4a+3a+2b=1230。234。R+,且abc=1,求證：11a(b+c)+b(a+c)+1c(a+b)179。248。by+232。a1231。)230。231。證：對不等式左邊分子式分母直接運用均值不等式顯然達到目標，為此引入待定系數(shù)a,b從而有：xy+2yz=2230。成立2．配湊常數(shù)法常數(shù)在不等式證明當中有著舉足輕重的作用，充分發(fā)揮好常數(shù)的“過渡”功能，將使證明的解決如虎添翼。0,ac+bd2179。4abcd證明：由a,b,c,d都是正數(shù)，得ab+cd2179。[(akb+(kxy)]=axby)故axby163。,y,z是不全為零的實數(shù)，求證xy+2yzx2+y2+z163。247。+2248。230。231。y+z2232。+b+c206。+，R求證a+bcb+3c8c+49a3+47a2。+246。232。4z8231。+248。恩格斯曾說過：“數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的量的關系與空間形式的科學.”數(shù)形結合就是根據(jù)數(shù)學問題的條件和結論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又提示其幾何直觀使數(shù)量關系的精確刻畫與空間形式的直觀形像巧妙和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，有時能使問題化難為易，化繁為簡。x2+y=該式，的分子可視為點P(,x)y到直線l=x+=0的距離平方，分母可視為P點與原點的距離平方，因此利用幾何意義將原問題進行代換，作PA⊥l于點A設∠AOP=q60o163。這是一種比較特別又新穎的解法，雖然不常見，但有些不等式題采用此法可以顯得很容易。R+,uv+vw+wu=1u2+1=(u+v)(u+w),且v2+1=(u+v)(v+w),w2+1=(u+w)(r+w),因此wcos2A21+cosA+1+xa+yc=au2u=2=bza3=u2=u179。11246。ww2231。2231。=12(uv+vw+uw)=當且僅當u=v=w時等號成立 此時a=b=c,x=y=z=12對于和式型不等式,不妨先研究局部性質(zhì),導出一些局部不等式,y,z206。8246。248。n的式子B,那么AB必定是一個整式形式,再對A++1xLxn206。229。=n+2n1n2B2\A179。2231。2 248。+248。1231。231。x+y247。248。z1+z2+z3=32(x+y+z)+x+y+z)i=(當且僅當x=y=z=時,等號成立),不過從上面這些證法可以看出遇到不等式證明定要想辦法把它向我到熟悉的不等式轉化,這是各種證法的共同特征，應該說也是證明所有不等式的共同突破口。要證cc2ab＜a＜c+c2ab只需證c2ab＜ac＜c2ab證明：即證 ｜ac｜＜c2ab即證(ac)2＜c2ab即證 a22ac＜ab∵a＞0，∴即要證 a2c＜b 即需證2+b＜2c，即為已知∴ 不等式成立練習4：已知a∈R且a≠1，求證：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）25放縮法放縮法是在證明不等式時，把不等式的一邊適當放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明不等式，是證明不等式的重要方法，技巧性較強常用技巧有：（1）舍去一些正項（或負項），（2）在和或積中換大（或換?。┠承╉?，（3）擴大（或縮?。┓质降姆肿樱ɑ蚍帜福┑?。s2mθ2k+22k+1＞2k+32②對于②〈二〉2k+2＞2k+12平方添項運用此法必須注意原不等號的方向例14 ：對于一切大于1的自然數(shù)n，求證：(1+13)(1+15)…(1+12n1＞ 2n+1 2)證明：∵b ＞ a＞ 0，m＞ 0時ba＞ b+ma+m∵ ［(1+13)(1+15)…(1+12n1)］2=（465…2n2n1)（465…2n2n1)＞（576…2n+12n)（465…2n2n1)=2n+13＞ 2n+14＞∴(1+13)(1+15)…(1+12n1)＞2n+1 2)3平均值添項例15：在△ABC中，求證sinA+sinB+sinC≤332分析：∵A+B+C=π，可按A、B、C的算術平均值添項sin π3證明：先證命題：若x＞0，y＜π，則sinx+siny≤2sin x+y2（當且僅當x=y時等號成立）∵0＜x+y2＜ π，π2＜ xy2＜ π2sinx+siny=2sin x+y2cosxy2∴上式成立反復運用這個命題，得sinA+