【正文】 第一篇：數(shù)列不等式結(jié)合的題的放縮方法數(shù)列不等式結(jié)合的題的放縮方法201146 11:51 提問者：makewest | 懸賞分：20 | 瀏覽次數(shù)：559次201146 11:53 最佳答案放縮法一般來說是高考的難點 要求又比較強(qiáng)的觀察力計算能力分析能力等 個人感覺高考壓軸題出個放縮法再結(jié)合構(gòu)造函數(shù)估計就是難倒一片了放縮法的規(guī)律性說有也有 比如說常見的數(shù)列的裂項相消可以說是一種放縮需要掌握一些比較簡單的放縮 具體的我在下面會為你提供一個百度文庫的資料 專門講放縮的其實個人感覺放縮難點一是是否能夠正確地尋求提供放縮的不等式 基本不等式應(yīng)用要熟練 二是要放得合適 放縮范圍大了小了就都得不出答案 三是觀察能力 通過合并拆項 舍棄部分項（這個二項式定理用的多 不過近幾年二項式定理證明的比較少 我們這邊的模擬題倒是有幾份出了）等等 再就是由過硬的計算了這些在這個文檔中都有提到 你參考下下面就這這個題我給你講下我的思路第一問沒問題吧 一個簡單的配湊第二問的關(guān)于b(k+1)根2 大于0的證明也好辦 關(guān)鍵是右邊的小于的那個證明b(k+1)根2(32根2)(bk根2）/（2bk+3)分母上盡量不要有bk 因為你證明的b(k+1)根2a(4k+1)根2 所以右邊就必須去分母 而且要把bk換成與ak有關(guān)的注意到數(shù)學(xué)歸納法要用上歸納假設(shè) 我們已經(jīng)假設(shè) bk根2 你最好看著這個題答案同時再看我的說明bk根2 那么分母中2bk+3就大于2根2+3 所以b(k+1)根2就小于(32根2）^2（bk根2）而bk根2 又可以換成n=k時我們假設(shè)的 bk下面要求一定的觀察能力 注意到(32根2）^2=（根21）^4你會問了 怎么會想到它呢？因為你看 題目中要證明的與ak有關(guān) 而它的通項公式與根21有關(guān)系 而且后面出了【a(4k3)根2】這個因式 因此必定要尋求要證明的式子與數(shù)列通項的關(guān)系 觀察出這一點了(32根2）^2=（根21）^4 那么把它再換上 要證明的就是 b(k+1)根2到了這一步 接下來的事就好辦多了 你把a(bǔ)(4k3)換成數(shù)列an的通項表示出來 就會發(fā)現(xiàn)(根21）^4【a(4k3)根2】=根2乘以（根21）的4k+1次冪 結(jié)合an的通項 你可以看出這個就是a(4k+1)根2 所以原式b(k+1)根2不知道我這樣你看明白沒有 沒法編輯公式講起來只能用語言加數(shù)字?jǐn)⑹霰热纾ǜ?1）^4 看起來怪費勁的總之這個題要比單純的放縮法還稍要來得簡單 因為有數(shù)學(xué)歸納法幫助你尋求解題的突破口 因為你必定要用上歸納假設(shè) 否則就不是數(shù)學(xué)歸納法了 這樣一來它還是給你提供了一定的思路的本題的難點可能在觀察不出來(32根2）^2=（根21）^4 卡住本人做這個題用了30分鐘做出來后來對照答案看的差不多 但是估計在考場上就做不出來了 因為最后很可能沒有這么多時間 加上緊張啊等等可能思路就得受限制放縮法這個東西 的確很難 剛開始講的時候我做相關(guān)的大題基本上都沒有做出來的但是時間長了 做過的題多了 感覺就要好點了 關(guān)鍵是注意自己分析總結(jié) 相信你一定會越來越有思路的！參考資料：部分百度文庫資料第二篇：放縮法證明數(shù)列不等式放縮法證明數(shù)列不等式基礎(chǔ)知識回顧:放縮的技巧與方法：（1）常見的數(shù)列求和方法和通項公式特點：① 等差數(shù)列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關(guān)于錯誤！未找到引用源。的一次函數(shù)或常值函數(shù)）② 等比數(shù)列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關(guān)于錯誤！未找到引用源。的指數(shù)類函數(shù)）③ 錯位相減：通項公式為“等差錯誤！未找到引用源。等比”的形式④ 裂項相消：通項公式可拆成兩個相鄰項的差，且原數(shù)列的每一項裂項之后正負(fù)能夠相消，進(jìn)而在求和后式子中僅剩有限項（2）與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：① 在數(shù)列中，“求和看通項”，所以在放縮的過程中通常從數(shù)列的通項公式入手② 在放縮時要看好所證不等式中不等號的方向，這將決定對通項公式是放大還是縮小（應(yīng)與所證的不等號同方向）③ 在放縮時，對通項公式的變形要向可求和數(shù)列的通項公式靠攏，常見的是向等比數(shù)列與可裂項相消的數(shù)列進(jìn)行靠攏。④ 若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項不動，其余項放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個方法就是推翻了原有放縮，重新進(jìn)行設(shè)計，選擇放縮程度更小的方式再進(jìn)行嘗試。（3）放縮構(gòu)造裂項相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：① 裂項相消：在放縮時，所構(gòu)造的通項公式要具備“依項同構(gòu)”的特點，即作差的兩項可視為同一數(shù)列的相鄰兩項（或等距離間隔項）② 等比數(shù)列：所面對的問題通常為“錯誤！未找到引用源。常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿足錯誤！未找到引用源。，如果題目條件無法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)列的首項與公比，進(jìn)而得出等比數(shù)列的通項公式，再與原通項公式進(jìn)行比較，看不等號的方向是否符合條件即可。例如常數(shù)錯誤！未找到引用源。，即可猜想該等比數(shù)列的首項為錯誤！未找到引用源。，公比為錯誤！未找到引用源。，即通項公式為錯誤！未找到引用源。注：此方法會存在風(fēng)險，所猜出的等比數(shù)列未必能達(dá)到放縮效果，所以是否選擇利用等比數(shù)列進(jìn)行放縮，受數(shù)列通項公式的結(jié)構(gòu)影響（4）與數(shù)列中的項相關(guān)的不等式問題：① 此類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對遞推公式進(jìn)行變形② 在有些關(guān)于項的不等式證明中，可向求和問題進(jìn)行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯誤！未找到引用源?；蝈e誤！未找到引用源。（累乘時要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過“累加”或“累乘”達(dá)到一側(cè)為錯誤！未找到引用源。，另一側(cè)為求和的結(jié)果，進(jìn)而完成證明 應(yīng)用舉例:類型一：與前n項和相關(guān)的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學(xué)高三摸底考試】已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。為常數(shù)，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。）．（1）求錯誤！未找到引用源。的通項公式；（2）設(shè)錯誤！未找到引用源。，若數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，求錯誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設(shè)錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值范圍．！未找到引用源。.對數(shù)列錯誤！未找到引用源。和錯誤！未找到引用源。的子集錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。；若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。.例如：錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.現(xiàn)設(shè)錯誤！未找到引用源。是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.錯誤！未找到引用源。（1）求數(shù)列的通項公式；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（2）對任意正整數(shù)，若，求證：；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（3）設(shè)，求證：.類型二、與通項運算相關(guān)的不等式 ！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。．（1）求證:錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。；（2）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）．！未找到引用源。是數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和，且對任意錯誤！未找到引用源。，有錯誤！未找到引用源。.其中錯誤！未找到引用源。為實數(shù)，且錯誤！未找到引用源。.（1）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，①求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的通項；②是否存在這樣的正整數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成等比數(shù)列？若存在，給出錯誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請說明理由.（2）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，設(shè)錯誤！未找到引用源。，① 判定錯誤！未找到引用源。是否為等比數(shù)列；②設(shè)錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。恒成立，求錯誤！未找到引用源。、規(guī)律歸納: 常見的放縮變形：（1）錯誤！未找到引用源。，（2）錯誤！未找到引用源。注：對于錯誤！未找到引用源。還可放縮為：錯誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數(shù)：錯誤！未找到引用源。（4）錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。可推廣為：錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。實戰(zhàn)演練: 1．【江蘇省無錫市普通高中2018屆高三上學(xué)期期中】已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。記數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（1）求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，并求其通項錯誤！未找到引用源。；（2）求錯誤！未找到引用源。；（3）問是否存在正整數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立？．【江蘇省常州市2018屆高三上學(xué)期武進(jìn)區(qū)高中數(shù)學(xué)期中試卷】在數(shù)列錯誤！未找到引用源。中，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。．⑴ 求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等差數(shù)列；⑵ 設(shè)錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若當(dāng)錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值范圍；⑶ 設(shè)數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項的和為錯誤！未找到引用源。，試求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見解析⑵錯誤！未找到引用源。⑶錯誤！未找到引用源。3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知數(shù)列的前項和為，滿足，．?dāng)?shù)列滿足（1）求數(shù)列（2）若和，且． 的通項公式；，數(shù)列的前項和為，對任意的，（，都有，求實數(shù)的取值范圍；（3）是否存在正整數(shù)，使，請說明理由．）成等差數(shù)列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，4．已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。，其中，錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。．（1）求數(shù)列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。的通項公式；（2）是否存在自然數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得對于任意錯誤！未找到引用源。有錯誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯誤！未找到引用源。的最小值；（3）若數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。，求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。．5．【江蘇省啟東中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第一次月考】設(shè)數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且滿足錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。為常數(shù)．（1）是否存在數(shù)列錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。？若存在，寫出一個滿足要求的數(shù)列；若不存在，說明理由．（2）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，求證： 錯誤！未找到引用源。．（3）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，求證：當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。．6．【江蘇省泰州中學(xué)2018屆高三上學(xué)期開學(xué)考試】已知兩個無窮數(shù)列分別滿足，其中（1）若數(shù)列（2）若數(shù)列①若數(shù)列②若數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項和分別為的通項公式；，使得，稱數(shù)列