【正文】 2a21111212[1++()2+L+()n1]=(1n) 3222332五．構(gòu)造和數(shù)列后進(jìn)行放縮如果數(shù)列不等式?jīng)]有直接的求和的形式，很多時(shí)候可以間接的構(gòu)造和數(shù)列，然后進(jìn)行放縮處理。2)且a1=1,a2=3, an1\n179。4\ak+1=ak+1ak1+1a+111k+1163。2),求證：1111++L+163。左邊=1+11111111111111+(+)+(+++)+(++L+)+L+(n1+Ln+n)***+12121+=1+11111111111111+(+)+(+++)+(++L+)+L+(n+Ln+n)***22211111n+++L+(共n個(gè))=1+ 222222四．利用遞推關(guān)系式放縮利用遞推關(guān)系式產(chǎn)生的不等關(guān)系，在很多題目中可以起到很好的放縮效果。1,證明：對(duì)任意整數(shù)m4,有++L+ 3a4a5am8n1分析：通項(xiàng)中含有(1)，把+整體捆綁同時(shí)結(jié)合奇偶性進(jìn)行適度放縮。bk2n+[(1+2)+(2+3)+L+(n+n+1)]=2n+(+n+1)2n333333333k=1\bn2(1)=2,f(n+1)=f(n)+f(n),求證：229。2)\229。k12nna2232323322222k=1k+1k=1“裂項(xiàng)法求和”在例1中，不等式的左邊無(wú)法求和，但通過(guò)放縮產(chǎn)生裂項(xiàng)相消的求和效果后，使問(wèn)題解決。k，不等式右邊得證。kSn229。除此之外，還可以調(diào)整放縮的次數(shù)，通過(guò)多次放縮的調(diào)整來(lái)達(dá)到效果；有時(shí)也可以根據(jù)欲證式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，把相鄰的項(xiàng)分組捆綁后進(jìn)行放縮，也可以達(dá)到控制放縮合理和尺度的效果。3(n1)180。2），這樣放的量就少了。那怎么辦呢？1．調(diào)整放縮的“量”的大小分析2：分析1中“放”的有點(diǎn)過(guò)大，因?yàn)?1，放大了1111，K所以可以2221180。2)”的方法向右端放大，n2n(n1)(n1)n11111117111=1+()+()+K+()=22 則左邊1+++K1223n1nn41180。：挖掘不等式的結(jié)構(gòu)特征和函數(shù)內(nèi)涵來(lái)構(gòu)造單調(diào)數(shù)列或單調(diào)函數(shù)，利用單調(diào)性、值域產(chǎn)生的不等關(guān)系進(jìn)行放縮。所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對(duì)不等式的局部進(jìn)行合理的放大和縮小從而向結(jié)論轉(zhuǎn)化，其難度在于放縮的合理和適度。證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧從而充滿思考性和挑戰(zhàn)性。二、常見(jiàn)的放縮控制當(dāng)我們選擇了正確的放縮方法后，卻往往會(huì)在放縮的過(guò)程中不知不覺(jué)間失控，導(dǎo)致放縮的過(guò)大或過(guò)小，達(dá)不到欲證的目標(biāo)。22180。2432180。22nn12n1n+***17)]=1+(1+)]2．調(diào)整放縮的“項(xiàng)”的起點(diǎn)分析3：分析1中從第二項(xiàng)開(kāi)始放縮，放的最終有點(diǎn)大。n由此可見(jiàn)，調(diào)整成功。三、常見(jiàn)的問(wèn)題類型數(shù)列型不等式的一邊常與求和有關(guān)，所以可以通過(guò)放縮后求和(或求和后放縮)來(lái)達(dá)到欲證的目標(biāo)。(k+)，即 222k=1k=1例3．求證：1111+++L+2 1!2!3!n!163。ak+121222k=1ak+12akak+1n11211111111=1 =k+1===kkkk112232+(22)232+0232212(2k)4(2k)k2knak11n1111n11n1\229。例2的右邊也是利用放縮產(chǎn)生了裂項(xiàng)的效果，然后求和。k=11k=1+2[(2)+(32)+L(nn1)]=1+2(1+n)=2n12n 2k+k2k+k+1=2(k+1k)Q1kn\229。k=1nf(k)+12分析：Qf(n+1)=f(n)[f(n)+1],\1111==,f(n+1)f(n)[f(n)+1]f(n)f(n)+1\111，=f(n)+1f(n)f(n+1)n\229。anan+11131132n1+2n232n1+2n2證明：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，+=[+]=anan+122n2+12n11222n3+2n12n21222n3即當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)m為偶數(shù)且m4時(shí)：11311+(n2+n1)，且a4=2, anan+122211111111131111++L+=+(+)L+(+)+(3+4+L+m3+m2)a4a5ama4a5a6am1am222222=13111317+(1m4)+= 22422482當(dāng)m為奇數(shù)且m4時(shí)：Qm+1為偶數(shù)，11111117++L+++L++ a4a5ama4a5amam+18綜上可知，對(duì)于任意整數(shù)m4，都有1117++L+ a4a5am8+11111n+++L+n+n1+(n179。179。 1+a11+a21+an2分析：根據(jù)欲證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過(guò)遞推關(guān)系式構(gòu)造關(guān)于1+ak的不等式Qak179。（）L2（a1+1）179。3時(shí)，an=左邊163。nan11111++L+[log2n]，正數(shù)列{an}滿足a1=b0,an163。nan1111111，\179。2=()+()+L+()+179。N*都有:xm+kxk.k1234分析：利用遞推式構(gòu)造關(guān)于xk+1xk的不等式，利用“絕對(duì)值不等式”把xm+kxk放縮為和數(shù)列的形式由x1=0得x2=114, x3=，當(dāng)k179。xm+kxm+k1+xm+k1xm+k2+L+xk+1xk 1230。18232。8(1)k11(1)k1=1=231。14上面介紹的數(shù)列不等式主要與“求和”的形式有關(guān)。同時(shí)還要多總結(jié)、多思考，多掌握一些常用的放縮技巧，以提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。的一次函數(shù)或常值函數(shù)）② 等比數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用源。等比”的形式④ 裂項(xiàng)相消：通項(xiàng)公式可拆成兩個(gè)相鄰項(xiàng)的差，且原數(shù)列的每一項(xiàng)裂項(xiàng)之后正負(fù)能夠相消，進(jìn)而在求和后式子中僅剩有限項(xiàng)（2）與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：① 在數(shù)列中，“求和看通項(xiàng)”，所以在放縮的過(guò)程中通常從數(shù)列的通項(xiàng)公式入手② 在放縮時(shí)要看好所證不等式中不等號(hào)的方向，這將決定對(duì)通項(xiàng)公式是放大還是縮?。☉?yīng)與所證的不等號(hào)同方向）③ 在放縮時(shí)，對(duì)通項(xiàng)公式的變形要向可求和數(shù)列的通項(xiàng)公式靠攏，常見(jiàn)的是向等比數(shù)列與可裂項(xiàng)相消的數(shù)列進(jìn)行靠攏。常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。即可猜想該等比數(shù)列的首項(xiàng)為錯(cuò)誤！未找到引用源?；蝈e(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，求錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍．！未找到引用源。若錯(cuò)誤！未找到引用源。.例如：錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。；（2）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。）．！未找到引用源。有錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。若錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。（4）錯(cuò)誤！未找到引用源。實(shí)戰(zhàn)演練: 1．【江蘇省無(wú)錫市普通高中2018屆高三上學(xué)期期中】已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。；（2）求錯(cuò)誤！未找到引用源。中，錯(cuò)誤！未找到引用源。．⑴ 求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)的和為錯(cuò)誤！未找到引用源。3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，．?dāng)?shù)列滿足（1）求數(shù)列（2）若和，且． 的通項(xiàng)公式；，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的，（，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）是否存在正整數(shù)，使，請(qǐng)說(shuō)明理由．）成等差數(shù)列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，4．已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。．（1）求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。有錯(cuò)誤！未找到引用源。求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。為常數(shù)．（1）是否存在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。．（3）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。求錯(cuò)誤！未找到引用源。.（1）求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。是公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。成等差數(shù)列，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。個(gè)正數(shù)，共同組成公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值．放縮法證明數(shù)列不等式基礎(chǔ)知識(shí)回顧:放縮的技巧與方法：（1）常見(jiàn)的數(shù)列求和方法和通項(xiàng)公式特點(diǎn)：① 等差數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。④ 若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過(guò)”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個(gè)方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項(xiàng)不動(dòng)，其余項(xiàng)放縮。如果題目條件無(wú)法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯(cuò)誤！未找到引用源。公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。（累乘時(shí)要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過(guò)“累加”或“累乘”達(dá)到一側(cè)為錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足：錯(cuò)誤！未找到引用源。）．（1）求錯(cuò)誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。若不等式錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。代入錯(cuò)誤！未找到引用源。和錯(cuò)誤！未找到引用源。；若錯(cuò)誤！未找到引用源。.現(xiàn)設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。因此由錯(cuò)誤！未找到引用源。.于是當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。即錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。.類型二、與通項(xiàng)運(yùn)算相關(guān)的不等式 ！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。！未找到引用源。有錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。若錯(cuò)誤！未找到引用源。；②不存在；（2）①當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為首項(xiàng)，錯(cuò)誤！未找到引用源。．方法、規(guī)律歸納: 常見(jiàn)的放縮變形：（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數(shù)：錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)錯(cuò)誤！未找到引用源。成立？說(shuō)明理由.【答案】（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。都成立，（3）詳見(jiàn)解析（3）假設(shè)存在正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。所以只要錯(cuò)誤！未找到引用源。就可以； 對(duì)于②，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。即錯(cuò)誤！未找到引用源。且當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。若當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍；⑶ 設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見(jiàn)解析⑵錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)恒成立，即使錯(cuò)誤！未找到引用源。故實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。即錯(cuò)誤！未找到引用源。．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的判定與證明，其中證明（1）的關(guān)鍵是分析得到錯(cuò)誤！未找到引用源。其中，錯(cuò)誤！未找到引用源。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；（2）是否存在自然數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值；（3）若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用源。． 【解析】試題分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件用累乘法能夠求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．b1=2，bn