【文章內(nèi)容簡介】 ? ? ? ?????? ??? ? ?? ? ? ???? ? ????? ? ? ? ? ? ? 2 *12 1 2 2 1 0 , ,2nn n n n c n Nn? ? ? ? ? ? ? ? ?? 設(shè) *12 ,nnS c c c n N? ? ? ? ?，則當(dāng) ? ?*2 2 1kn k N? ? ? ?時， 2 3 11 1 1 1 1 1 1 1 1 13 4 2 1 2 3 4 2 1 2 2 1 2n k k k kS ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? 21231 1 1 12 2 22 2 2 2k k k? ?? ? ? ? ? ? ? ?。 所以，取 40090 22n ??，對 0nn??都有： 20xx2 14017111 012312 ????????????? ??????????? ?????????? ? ? nnnn SSbbbbbb ? 故有nnnn bbbbbbbb 112312 ?? ???? ? 20xx?n 成立。 例 23.(20xx 年泉州市高三質(zhì)檢 ) 已知函數(shù) ),1()( 2 Rcbcbxxxf ????? ，若 )(xf 的定義域為 [－ 1， 0]， 值域也為 [－ 1， 0].若數(shù)列 }{nb 滿足 )()(*3 Nnnnfbn ??，記數(shù)列 }{nb 的前 n 項和為 nT ，問是否存在正常數(shù) A，使得對于任意正整數(shù) n 都有 ATn? ？并證明你的結(jié)論。 解析 :首先求出 xxxf 2)( 2?? ,∵nn nnnnfbn 12)( 323 ???? ∴nbbbbT nn 131211321 ?????????? ??,∵214124131 ????,218148171615 ??????,… 212122122 112 1 111 ???????? ??? kkkkk ?,故當(dāng) kn 2? 時 , 12?kTn, 因此，對任何常數(shù) A，設(shè) m 是不小于 A 的最小正整數(shù)， 則當(dāng) 222 ?? mn 時 ,必有 AmmTn ????? 12 22. 故不存在常數(shù) A 使 ATn? 對所有 2?n 的正整數(shù)恒成立 . 例 24.(20xx年 中學(xué)教學(xué)參考 )設(shè)不等式組??????????nnxyyx3,0,0 表示的平面區(qū)域為 nD,設(shè) nD內(nèi)整數(shù)坐標(biāo)點的個數(shù)為 na .設(shè)nnnn aaaS 221 111 ???? ?? ?, 當(dāng) 2?n 時 ,求證 :36 1171111 2321 ?????? naaaa n?. 解析 :容易得到 nan 3? ,所以 ,要證36 1171111 2321 ?????? naaaa n?只要證12 11721312112 ??????? nS nn ?,因為nnnnS 2122 112 1()81716151()4131(211 112 ??????????????? ?? ?? 12 117)1(12723211 121 222 ??????????? ? nnTTT n?,所以原命題得證 . 五 、 迭代 放縮 例 25. 已知 1,14 11 ????? xxxx nnn,求證 :當(dāng) 2?n 時 ,nni ix ?? ???? 11 22|2| 解析 :通過迭代的方法得到1212 ??? nnx,然后相加就可以得到結(jié)論 例 26. 設(shè)nn nS 2 !sin2 !2sin2 !1sin 21 ???? ?,求證 :對任意的正整數(shù) k,若 k≥n 恒有 :|Sn+k－ Sn|1n 解析 : |2 )s in(2 )!2s in(2 )!1s in(||| 21 knnnnkn knnnSS ???? ???????? ? knnnknnn knnn ?????? ??????????? 2 12 12 1|2 )s i n(||2 )!2s i n(||2 )!1s i n(| 2121 ?? nknkn 21)211(21)212121(21 2 ???????? ? 又 nCCC nnnnnn ??????? ?10)11(2 所以nSS nnkn 121|| ???? 六 、 借助數(shù)列遞推關(guān)系 例 : 1222642 )12(531642 53142 3121 ??????? ????????? ?????? nnn??? 解析 : 設(shè)nnan 2642 )12(531 ???? ?????? ??則 nnnnn anaananna ??????? ?? 2)1(2)1(2 12 11,從而 nnn naana 2)1(2 1 ??? ?,相加后就可以得到 122 1)22(132 1)1(22)1(2 1121 ???????????????? ? nnnnaanaaa nn? 所以 1222642 )12(531642 53142 3121 ??????? ????????? ?????? nnn??? 例 28. 求證 : 1122642 )12(531642 53142 3121 ??????? ????????? ?????? nnn??? 解析 : 設(shè)nna n 2642 )12(531 ???? ?????? ??則 111 )12(]1)1(2[)1(2 12 ??? ????????? nnnnn aanananna,從而 nnn anana )12(]1)1(2[ 11 ????? ?? ,相加后就可以得到 1122312 1)12(3)12( 1121 ?????????????? ? nnnaanaaa nn? 例 29. 若 1,1 11 ???? ? naaa nn ,求證 :)11(2111 21 ?????? naaa n? 解析 : nnnnnnn aaaaanaa ????????? ????? 21112 112 所以就有 2122111121121121 ????????????? ?? naaaaaaaaaaa nnnnn? 七 、 分類討論 例 }{na的前 n 項和nS滿足 .1,)1(2 ???? naS nnn證明：對任意的整數(shù) 4?m ，有 8711154 ???? maaa ? 解析 :容易得到 ? ?.)1(232 12 ?? ??? nnna, 由于通項中含有 n)1(? ，很難直接放縮，考慮分項討論： 當(dāng) 3?n 且 n 為奇數(shù)時1222 2223)12 112 1(2311 2132 12121 ??? ???????? ??? ????? nnn nnnnnn aa )2 12 1(232 2223 1232 12 ??? ?? ?????? nnn nn（減項放縮），于是 ① 當(dāng) 4?m 且 m 為偶數(shù)時 ????maaa11154 ? )11()11(11654 mm aaaaa ????? ?? .878321)2 11(412321)2 12121(2321 4243 ????????????? ?? mm? ② 當(dāng) 4?m 且 m 為奇數(shù)時 ????maaa 111 54 ? 154 111 ????? mm aaa ?（添項放縮）由 ① 知 .871111 154 ????? ?mm aaaa ?由 ① ② 得證。 八 、 線性規(guī)劃型放縮 例 31. 設(shè)函數(shù)221() 2xfxx ?? ?.若對一切 xR? ， 3 ( ) 3af x b? ? ? ?，求 ab? 的最大值。 解析 :由22221 ( 2 ) ( 1)( ( ) )( (1) 1)2 2 ( 2 )xxf x f x? ? ?? ? ? ?知 1( ( ) )( (1) 1) 02f x f? ? ? 即 1 ( ) 12 fx? ? ? 由此 再由 ()fx的單調(diào) 性可以知道 ()fx的最小值為 12?，最大值為 1 因此對一切 xR? ， 3 ( ) 3af x b? ? ? ?的充要條件是， 1332abab?? ?? ? ????? ? ? ?? 即 a ， b 滿足約束條件331 321 32abababab? ?????????? ? ????? ? ???， 由線性規(guī)劃得， ab? 的最大值為 5． 九 、 均值不等式放縮 例 .)1(3221 ??????? nnS n ?求證 .2 )1(2 )1( 2???? nSnn n 解析 : 此數(shù)列的通項為 .,2,1,)1( nkkka k ???? 212 1)1( ??????? kkkkkk?，)21(11 ?? ?? ???? nknnk kSk， 即 .2 )1(22 )1(2 )1( 2??????? nnnnSnn n 注： ① 應(yīng)注意把握放縮的 “度 ”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式2baab ??，若放成 1)1( ??? kkk 則得2 )1(2 )3)(1()1( 21 ??????? ?? nnnkS nkn，就放過 “度 ”了！ ② 根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來選取所需要 的重要不等式，這里 n aan aaaaaa n nnn nn22111111 ????????? ???? 其中， 3,2?n 等的各式及其變式公式均可供選用。 例 bxaxf 21 1)( ???，若54)1( ?f，且 )(xf 在 [0， 1]上的最小值為21， 求證： .212 1)()2()1( 1 ?????? ?nnnfff ? 解析 : )22 11()()1()0(22 1141 1141 4)( ??????????????? nffxxf xxxx ? .212 1)2 1211(41)22 11()22 11( 112 ??????????????? ?? nnn nn ?? 例 ba, 為正數(shù)，且 111 ??ba，試證：對每一個 ??Nn ， 12 22)( ?????? nnnnn baba . 解析 : 由 111 ??ba得 baab ?? ，又 42)11)(( ??????abbababa，故 4??? baab ，而nnnrrnrnnnnnn bCbaCbaCaCba ??????? ?? ??110)( ， 令 nnn babanf ???? )()( ，則 )(nf = 1111 ???? ???? nnnrrnrnnn abCbaCbaC ?? ，因為 innin CC ?? ，倒序相加得)(2 nf = )()()( 111111 baabCbabaCabbaC nnnnrnrrrnrnnnn ??????? ??????? ??， 而 121111 2422 ??????? ??????????? nnnnnnrnrrrnnn babaabbabaabba ??， 則 )(2 nf = ))(22())(( 11 rrnrnrnrrnrnrnnrnn babababaCCC ????? ???????? ?? ??? )22( n 12?n ，所以 )(nf ??? )22( n n2 ，即對每一個 ??Nn ， 12 22)( ?????? nnnnn baba . 例 ),1(2 2 1321 NnnnCCCC nnnnnn ???????? ?? 解析 : 不等式左 ????? nnnnn CCCC ?321 12 222112 ??????? nn ?n nn 12 2221 ??????? ?= 212?? n ， 原結(jié)論成立 . 例 xx eexf ???)( ,求證 : 21 )1()()3()2()1( nnenffff ?????? ?? 解析 : 11)1()1()()(2121122121221121 ???????????? ?? xxxxxxxxxxxxxx eeeeeeeeeeeexfxf 經(jīng)過倒序相乘 ,就可以得到 21 )1()()3()2()1( nnenffff ?????? ?? 例 xxxf 1)( ??,求證 : nn nnffff )1(2)2()3()2()1( ?????? ? 解析 : 2)12(2)12( 11212)12()12 112)(1( ?????????????