【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ”。布勞威爾在自己觀點(diǎn)的指導(dǎo)下建立了構(gòu)造性數(shù)學(xué)，構(gòu)造性，構(gòu)造性實(shí)數(shù)，構(gòu)造性集合，構(gòu)造性微積分。但是由于直覺(jué)主義學(xué)派否認(rèn)排中律，即否認(rèn)反證法，大部分已知的數(shù)學(xué)必須被拋棄，數(shù)學(xué)家并不接受。直到1967年，數(shù)學(xué)家比肖泊的書(shū)出版，宣告從此構(gòu)造法進(jìn)入“現(xiàn)代構(gòu)造數(shù)學(xué)”，構(gòu)造數(shù)學(xué)派上了大用場(chǎng)。吳文俊院士說(shuō)，由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展，構(gòu)造性數(shù)學(xué)在不遠(yuǎn)的將來(lái)獲得大的發(fā)展，甚至成為數(shù)學(xué)的主流。構(gòu)造法具有簡(jiǎn)明、精巧、新穎等特點(diǎn)，使思維突破常規(guī)，獲得發(fā)展，富有創(chuàng)造性。中學(xué)幾何中，作輔助線、因式分解中加項(xiàng)減項(xiàng)就是最生動(dòng)的體現(xiàn)。一個(gè)問(wèn)題，如能找到合適的數(shù)學(xué)模型，常?？梢钥s短思維過(guò)程。但是應(yīng)當(dāng)看到，任何事物都有兩面性。構(gòu)造法并不是萬(wàn)能的。由于構(gòu)造法具有極強(qiáng)的針對(duì)性，往往是一題一構(gòu)造，適用性并不強(qiáng)。其次不必過(guò)分追求高技巧，為構(gòu)造而構(gòu)造。題目該怎么解就怎么解，以自然為上，要像“呼吸一樣自然”。運(yùn)用構(gòu)造法證明不等式，主要有以下步驟：（1） 仔細(xì)審題。單遵教授說(shuō)拿到題目的第一步就是仔細(xì)閱讀題，理解題意。能在短時(shí)間內(nèi)通過(guò)自己的理解強(qiáng)記題目（《解題研究》）（2） 仔細(xì)分析題目各個(gè)環(huán)節(jié)之間的聯(lián)系，展開(kāi)聯(lián)想，轉(zhuǎn)化為熟知的問(wèn)題。（3） 根據(jù)已知條件和已知知識(shí)，準(zhǔn)確構(gòu)造相關(guān)數(shù)學(xué)模型。（4） 求解。2 模型概述 和中學(xué)數(shù)學(xué)其他知識(shí)點(diǎn)相比，不等式證明手段千變?nèi)f化，充滿奇思妙想，極富數(shù)學(xué)美，構(gòu)造法集中體現(xiàn)了這一點(diǎn)。而對(duì)數(shù)學(xué)美的追求又常常反過(guò)來(lái)幫助我們發(fā)現(xiàn)更美的解法。運(yùn)用這一方法需要構(gòu)造一些數(shù)學(xué)模型。常見(jiàn)有構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式、對(duì)偶式、幾何圖形、復(fù)數(shù)、向量、二項(xiàng)式。參照以往文獻(xiàn)，我認(rèn)為，加強(qiáng)命題是一種強(qiáng)有力的模型，加強(qiáng)命題就是把命題轉(zhuǎn)化為更強(qiáng)的命題，使得問(wèn)題明朗化。 適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型很重要，而促使我們構(gòu)造出這些模型的思維過(guò)程則更為重要。如何思考比得出結(jié)果具有更大的意義。清晰地給出數(shù)學(xué)模型在我們頭腦中產(chǎn)生的過(guò)程，是非常困難的。但是大致來(lái)說(shuō)，我們頭腦中的某些觀念總是在不知不覺(jué)的影響著我們的行為。以下總結(jié)的是一些思維方法和思維觀念。我認(rèn)為，它們?cè)诤艽蟪潭壬蠜Q定了我們?cè)谟脴?gòu)造法證明不等式時(shí)是否能夠成功。首先是背景構(gòu)造，所為背景構(gòu)造，就是當(dāng)所面臨的問(wèn)題比較孤立，無(wú)從下手時(shí)，我們往往把問(wèn)題放在一個(gè)更大的或熟知的背景上，逼近問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，使問(wèn)題或的解決；最常用的構(gòu)造過(guò)程應(yīng)該是相似構(gòu)造了，數(shù)學(xué)解題時(shí)，我們大多時(shí)候是用已知知識(shí)去解決未知問(wèn)題，所以我們面對(duì)一個(gè)不等式時(shí)，通常會(huì)“比比看看”，和我們已知的公式，定理聯(lián)系起來(lái)察覺(jué)出問(wèn)題與已知之間形式、結(jié)構(gòu)的相似性，很可能問(wèn)題獲解。除此而外，重要的構(gòu)造思想還有審美構(gòu)造、聯(lián)想構(gòu)造、直覺(jué)構(gòu)造、類(lèi)比構(gòu)造、歸納構(gòu)造、逆向構(gòu)造、賦義構(gòu)造、調(diào)頻構(gòu)造。對(duì)數(shù)學(xué)美，簡(jiǎn)潔性的追求是一種原動(dòng)力?；谶@樣一種追求，我們常能發(fā)現(xiàn)巧妙的方法。歷史上，羅素的層次論就因?yàn)檫^(guò)于復(fù)雜，龐大，與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的簡(jiǎn)明性不符，不能為數(shù)學(xué)家們所接受，只好遺憾地“束之高閣，并不實(shí)行”。人們對(duì)簡(jiǎn)單美好的事物的追求總會(huì)對(duì)人的行為產(chǎn)生潛意識(shí)的影響，指導(dǎo)著人的判斷和抉擇。在數(shù)學(xué)概念構(gòu)造中，特別是在解題中，更是如此。站在審美的角度構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，稱(chēng)之為審美構(gòu)造。逆向構(gòu)造，不按常理出牌，向著原命題的相反方向思考，通過(guò)構(gòu)造對(duì)立的數(shù)學(xué)形式解決問(wèn)題。雖然表面上顯得更加“繁”，但因?yàn)樵黾恿朔疵孢@一條件，有時(shí)反而利于問(wèn)題的解決，總體的看，這是一種由繁到簡(jiǎn)的思維過(guò)程。調(diào)頻構(gòu)造就是波利亞說(shuō)的“從各個(gè)不同方向攻擊堡壘”，思路受阻時(shí)，改變思路，就像看電視一樣，電視不好看，調(diào)換頻道。這些思想超越了方法，更加具有一般性，和普遍性。下面讓我們通過(guò)實(shí)例來(lái)領(lǐng)略構(gòu)造法在證明不等式中的運(yùn)用，體會(huì)巧妙之處，增強(qiáng)創(chuàng)新能力。 3 用構(gòu)造法證明不等式針對(duì)一個(gè)具體的不等式，如何準(zhǔn)確的尋找到一個(gè)合適的函數(shù)呢？有實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的人都知道，尋找過(guò)程往往充滿艱辛和反復(fù)，要經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的摸索，需要積累一些經(jīng)驗(yàn)。不等式類(lèi)型千差萬(wàn)別，變幻莫測(cè)，要找到一種適用于所有不等式的思維模式，似乎不大可能。就如同在因式分解里面，我們可以根據(jù)代數(shù)基本定理知道每一個(gè)代數(shù)式都可一再?gòu)?fù)數(shù)范圍類(lèi)分解，但是卻找不到通法一樣。但是在一個(gè)較小的范圍之內(nèi)，這是有希望的。通過(guò)研究，我發(fā)現(xiàn)，對(duì)一類(lèi)“數(shù)列型不等式”，這樣的“通法”是存在的。而數(shù)列型不等式是高考的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，讓許多考生望題興嘆。首先，看一看什么是數(shù)列型不等式。通常，我們把形如“”“”稱(chēng)為為數(shù)列不等式。關(guān)于數(shù)列不等式有幾個(gè)命題，這兩個(gè)命題可以幫助我們尋找所需要的函數(shù)。，是定義在上的函數(shù)。命題1 若，成立，則；命題2 若,成立,則。反過(guò)來(lái)有命題3 若 ，則 命題4 若，則前兩個(gè)命題的證明很簡(jiǎn)單，命題1用反證法，命題2在一直不等式兩邊取對(duì)數(shù)即化歸為命題1,。這兩個(gè)命題是對(duì)偶的。命題3和命題4是對(duì)偶的。下面看兩個(gè)實(shí)例：例1 證明對(duì)任意的,不等式恒成立。分析：當(dāng)把固定時(shí)，就是關(guān)于的不等式，符合命題1的條件。證明：由命題1，我們只需證明（1） （2）由此可構(gòu)造函數(shù)則,顯然當(dāng).在時(shí)取極大值。即在區(qū)間上恒成立。有成立：，對(duì)任意的正整數(shù)恒成立。分析：對(duì)許多和正整數(shù)有關(guān)的命題，可以考慮數(shù)學(xué)歸納法。但數(shù)學(xué)歸納法比較繁瑣，而且容易掩蓋問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)。對(duì)于一個(gè)較難的問(wèn)題，可能我們使用數(shù)學(xué)歸納法不需要觸及到問(wèn)題的本質(zhì)，只需要按部就班的運(yùn)用就可以使問(wèn)題獲解，但即使我們給出了解答，也很是迷茫。于是我們將變形為。證明：先證明為此，構(gòu)造函數(shù)只需證明在成立即