【文章內(nèi)容簡介】 即 )()()( 2121 xxxx fff ??? . 7 假設(shè)當(dāng) nk? 時(shí)不等式成立 ,即 11( ) ( )kkiiiif x f x?????. 取 1111( ) ( )kki i kiif x f x x????????,顯然 1 0kx? ? 的情況不證而明 ,所以只考慮 1 0kx? ? 的情況 .取1kiiux???,由前面已證的結(jié)論有 11( ) ( ) ( )kkf u x f u f x??? ? ?, 再用歸納假設(shè)可得 11( ) ( )kkiiiif x f x???????, 即當(dāng) 1nk??時(shí)結(jié)論成立 .所以 . 11( ) ( )nniiiif x f x?????. 8 第四章 利用柯西中值定理證明不等式 柯西中值定理是研究兩個(gè)函數(shù) ( ), ( )f x g x 的變量關(guān)系的中值 定理 ,當(dāng)一個(gè)函數(shù) (不妨設(shè)此函數(shù)為 ()gx )取作自變量自身時(shí)它就是拉格朗日中值定理 ,所以用拉格朗日中值定理能證明的不等式一定能用柯西中值定理來證明 ,反之則不然 .下面舉例來說明 : 對例 2 用柯西中值定理證明 ,這里僅用第一個(gè)小題來說明 ,其證法如下 : 證明 (1)令 ( ) ln(1 )f x x??, ()gx x? . ( ), ( )f x g x 在區(qū)間 ? ?0, ( 0)xx? 上連續(xù) ,在? ?0, ( 0)xx? 內(nèi)可導(dǎo) ,且 ()gx? 在 ? ?0, ( 0)xx? 內(nèi)每一點(diǎn)都不為零 ,那么由柯西中值定理可得 : ln (1 ) ln (1) 1(1 ) 1 1xx ??? ?? ? ?, (0, )x?? 則有 ln (1 ) ln (1)1 xx ?? ? ? ?, (0, )x?? . 下面與例 2 中解法同 ,這里就不再贅述了 . 例 4 (1)設(shè) 0x? ,對 01???的情況 ,求證 : 1xx? ??? ? ? . (2)設(shè) 0x? ，求證 : sin 1xxe??. 證明 (1)設(shè) xxf ??)( , xxg ??)( . 當(dāng) 1x? 時(shí)結(jié)論顯然成立 . 當(dāng) 1x? 時(shí) ,取 ? ?,1x 或 ? ?1,x , ( ), ( )f x g x 在閉區(qū)間 ? ?,1x 或 ? ?1,x 上連續(xù) ,在開區(qū)間 ? ?,1x 或? ?1,x 可導(dǎo) ,且 ()gx? 在內(nèi) ? ?,1x 或 ? ?1,x 每一點(diǎn)均不為零 ,由柯西中值定理可得 : ( ) (1) ( )( ) (1) ( )f x f fg x g g ???? ? ?? , ( ,1x?? 或 (1, )x?? 即 1 11xx?? ??? ?? ? ? ? ?? ??? . 9 所以 1xx? ??? ? ? 得證 . (2)設(shè) ( ) sinf t t? , () tgt e? , ? ?0,tx? , ( ), ( )f x g x 在閉區(qū)間 ? ?0,x 上連續(xù) ,在開區(qū)間? ?0,x 內(nèi)可導(dǎo) ,且 ()gx? 在 ? ?0,x 內(nèi)每一點(diǎn)均不為零 ,那么由柯西 中值定理可得 : ( ) (0 ) ( )( ) (0 ) ( )f x f fg x g g ???? ? ?? , ? ?0,x?? . 即 sin cos1t xee????, ? ?0,x?? . 因?yàn)?10xe ?? , 10e? ?? ,所以 sin cos 11t xee?????. 即 sin 1xxe??. 注意 :例 4 中的兩個(gè)不等式能用柯西中值定理來證明 ,但不能用拉格朗日中值定理證明 . 例 5 如果函數(shù) ()fx滿足兩個(gè)條件 :(1)在閉區(qū)間 ? ?,ab 上有二階導(dǎo)數(shù) ()fx?? 。 (2) ( ) ( ) 0f a f b????.試證明 :在開區(qū)間 ? ?,ab 內(nèi)至少存在一點(diǎn) c , 使得 24( ) ( ) ( )()f c f b f aba?? ???. 證明 令24 ( ) ( )()k f b f aba???.在此我們利用用反證法來證明本題 , 我們不妨假設(shè) ()f x k?? ? ,a x b??.對于構(gòu)造的輔助函數(shù) ? ?0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )F x f x f x f x x x?? ? ? ?及 20( ) ( )G x x x?? (其中 0x 是 ? ?,ab 中任意固定的一點(diǎn) ),兩次利用柯西中值定理 ,可得 : 20 0 0 01( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2f x f x f x x x x x f ?? ??? ? ? ? ? 其中 ? 介于 0x 與 x 之間 (即 0xx??? 或 0xx??? ),x 為 ? ?,ab 上任意點(diǎn) ,特別地 ,在上式中取 0xa? , 2abx ?? ,并利用已知條件 ( ) 0fa? ? ,則有 : 21()( ) ( ) ( )28a b b af f a f c?? ????,其中 1c 滿足1 2abac ???, 10 于是 2()( ) ( )28a b b af f a k????. 同理再取 0xb? , 2abx ?? ,并利用已知條件 ( ) 0fb? ? ,則得 : 22()( ) ( ) ( )28a b b af f b f c?? ????,其中 2c 滿足22abcb? ??. 于是 : 2()( ) ( )28a b b af b f k????. 因此 , 2()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 4a b a b b af b f a f b f f f a k f b f a? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?. 這是不可能的 .所以在區(qū)間 ? ?,ab 內(nèi)至少存在一點(diǎn) c , 使得 24( ) ( ) ( )()f c f b f aba?? ???. 11 第五章 利用泰勒中值定理證明不等式 泰勒公式的余項(xiàng)大體分兩種 :佩亞諾型余項(xiàng) ,拉格朗日型余項(xiàng) .與帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式相比 ,帶佩亞諾 型余項(xiàng)的泰勒公式對函數(shù) ()fx的假設(shè)條件較少 ,只需函數(shù) ()fx在 0x 處 n 階可導(dǎo) ,不需要 1n? 階可導(dǎo) ,也不需要在 0x 的鄰域內(nèi)存在 n 階連續(xù)導(dǎo)數(shù) ,因此應(yīng)用范圍較廣 .但是在證明不等式時(shí) ,精確 度卻不如帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式好 . 利用此原理可以證明一般的不等式 ,積分不等式 ,估值不等式等多種不等式 ,這種方法的用法非常廣泛 . 證明方法 : (1) 根據(jù)已知條件 ,圍繞證明目標(biāo) ,尋取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)將函數(shù)在該點(diǎn)展成泰勒展式 . (2) 根據(jù)已知條件 ,向著有利于證明不等式的方向?qū)ι厦娴恼故阶鬟m當(dāng)?shù)奶幚?,直到可以結(jié)合已知條件證出不等式為止 . 例 6 當(dāng) 0 2x ??? 時(shí) ,求證 : 222 1 200( 1 ) s in ( 1 )( 2 1 ) ! ( 2 1 ) !k k k knnkkx x xk x k???????????. 分析 :由于朗格朗日中值定理很容易證明 sin01xx??, 而利用泰勒中值定理時(shí) ,當(dāng) 1n? 時(shí) ,不等式為 : 2 2 4s in113 ! 3 ! 5 !x x x xx? ? ? ? ?. 顯然第二個(gè)比前一個(gè)的不等式的精確度高得多 ,隨著 n 的增大 ,不等式的精確度會(huì)大幅度地提高 ,所以我們在做題過程中 ,按題目的要求來選擇適當(dāng)?shù)姆椒▉碜C明不同的不等式 . 證明 令 ( ) sinf x x? ,那么函數(shù) ()fx在 0 0x? 點(diǎn)展開前 2n 項(xiàng)的泰勒公式 , 余項(xiàng)取拉格朗形式 ,那么有 : 212430 ( 1 )s in ( )( 2 1 ) !kknnk xx R xk??? ????? 12 434 3 4 3 4 3433si n( )si n c os2() ( 4 3 ) ! ( 4 3 ) ! ( 4 3 ) !n x n n nn xR x x x xn n n??? ??? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?. 因?yàn)?0 2x ??? ? ? ,所以 cos 0?? ,從 而 21( ) 0nRx? ? , 所以有 2120( 1)sin (2 1) !kknkxx k ???? ?? . 即 220( 1)sin (2 1)!kknkxx k??? ?? . 同理 ,因?yàn)?412s i n( )2( ) 0( 4 1 ) ! nnR x xn???????,所以左端的不等號(hào)也成立 . 另外 ,在遇到高階導(dǎo)數(shù)的不等式 ,一般都首先考慮泰勒中值定理 .像之前的例 們也可以用泰勒中值定理來證明 ,下面具體來說明 : 例 5 的另一種 證法 : 由題設(shè)條件 ,應(yīng)用泰勒展開式有 : 211( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2a b b a b af f a f a f ?? ? ?? ??? ? ?, 221( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2a