微分中值定理論文(編輯修改稿)
2024-07-21 22:55 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 的是學(xué)了要會(huì)用，這才是最關(guān)鍵的。 利用定理證明方程根（零點(diǎn)）的存在性例1 若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明在內(nèi)方程。分析：由于題目是要求方程是否有根存在，所以可以先對(duì)方程進(jìn)行變形，把方程變?yōu)?。那么方程有根的話，則原方程也有根。變形之后的方程有存在，所以可以利用不定積分把方程，轉(zhuǎn)變?yōu)椤，F(xiàn)在我們返回來(lái)看題目，由題目中我們可以知道在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，由函數(shù)的連續(xù)性和求導(dǎo)的概念，可以得到函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)，那么我們不難想到利用羅爾中值定理就可以證明該題了。證明:令，顯然在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)，而.根據(jù)Rolle定理, 至少存在一點(diǎn)，使. 證畢本文主要在于輔助函數(shù)的構(gòu)造，我們從結(jié)論出發(fā)，構(gòu)造輔助函數(shù)，使得該題可以利用中值定理來(lái)證明，接下來(lái)是考慮利用微分中值定理中的哪一個(gè)即可。對(duì)于構(gòu)造輔助函數(shù)我們可以得到，所以選在利用羅爾定理證明。這是對(duì)解該類(lèi)問(wèn)題的總結(jié)，也是自己對(duì)該類(lèi)問(wèn)題解題提出的一個(gè)解題思路模式，大家可以借鑒。下來(lái)我們繼續(xù)看兩道例題：設(shè)在，在，證明：在內(nèi)存在一點(diǎn)，使成立。分析：對(duì)于等式，則可以?xún)蛇呁?，即等式左端為，這個(gè)商式可看為函數(shù)在上的改變量與自變量的改變量之商，則會(huì)考慮利用Lagrange定理，那么可構(gòu)造輔助函數(shù)。證明: ，則在，在，由Lagrange定理，存在一點(diǎn)，使，即，即 證畢設(shè)在，在，證明:在內(nèi)存在一點(diǎn)，使成立。分析:等式兩邊同除以，即該等式的左端為，這個(gè)商式可看為函數(shù)與在閉區(qū)間上的改變量之商，則我們會(huì)想到利用柯西定理來(lái)證明，那么構(gòu)造輔助函數(shù)。證明：令，對(duì) ，在上運(yùn)用Cauchy定理，得，即，即. 證畢 用定理求極限在求極限的題目里，有些題目如果運(yùn)用通常的一些方法來(lái)求解的話，則會(huì)使我們?cè)诮忸}過(guò)程中出現(xiàn)很大的計(jì)算量，或者比較繁瑣的解題過(guò)程。但是應(yīng)用中值定理的話，會(huì)為這一類(lèi)題目提供一種簡(jiǎn)單有效的方法。而用中值定理來(lái)解題，最關(guān)鍵在于輔助函數(shù)的構(gòu)造，然后在運(yùn)用中值定理解題，即可求出
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