中值定理構(gòu)造輔助函數(shù)(編輯修改稿)
2025-06-11 23:51 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 知道，對(duì)上的同一自變量值，這兩條曲線縱坐標(biāo)之差構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，它滿足0,0,因而符合介值定理的條件．當(dāng)為的一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，恰等價(jià)于．因此即知證明的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)．4 常數(shù)k值法 此方法構(gòu)造輔助函數(shù)的步驟分為以下四點(diǎn)：1） 將結(jié)論變形，使常數(shù)部分分離出來并令為．2） 恒等變形使等式一端為及構(gòu)成的代數(shù)式，另一端為及構(gòu)成的代數(shù)式．3）觀察分析關(guān)于端點(diǎn)的表達(dá)式是否為對(duì)稱式．若是，則把其中一個(gè)端點(diǎn)設(shè)為，相應(yīng)的函數(shù)值改為．4）端點(diǎn)換變量的表達(dá)式即為輔助函數(shù)．例7：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，試證存在一點(diǎn)，使等式成立．分析：將結(jié)論變形為，令，則有，令，可得輔助函數(shù)．例8：設(shè)在上存在，在，試證明存在，使得．分析：令，于是有，上式為關(guān)于，三點(diǎn)的輪換對(duì)稱式，令（or：，or：），則得輔助函數(shù)．5 分析法分析法又叫倒推法，就是從欲證的結(jié)論出發(fā)借助于邏輯關(guān)系導(dǎo)出已知的條件和結(jié)論．例9：設(shè)函數(shù)在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，證明在（0，1）內(nèi)存在一點(diǎn)，使得．分
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