中值定理構(gòu)造輔助函數(shù)(參考版)
2025-05-18 23:51本頁面
【正文】 微分中值定理證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造1 原函數(shù)法此法是將結(jié)論變形并向羅爾定理的結(jié)論靠攏，湊出適當?shù)脑瘮?shù)作為輔助函數(shù)，主要思想分為四點：(1)將要證的結(jié)論中的換成；(2)通過恒等變形將結(jié)論化為易消除導(dǎo)數(shù)符號的形式；(3)用觀察法或積分法求出原函數(shù)（等式中不含導(dǎo)數(shù)符號），并取積分常數(shù)為零；(4)移項使等式一邊為零，另一邊即為所求輔助函數(shù)．例1：證明柯西中值定理．分析：在柯西中值定理的結(jié)論中令，得，先變形為再兩邊同時積分得，令，有故為所求輔助函數(shù)．例2：若,…,是使得的實數(shù)．證明方程在（0，1）內(nèi)至少有一實根．證：由于并且這一積分結(jié)果與題設(shè)條件和要證明的結(jié)論有聯(lián)系，所以設(shè)（?。?，則1）在[0，1]上連續(xù)2）在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)3）=0， 故滿足羅爾定理的條件，由羅爾定理，存在使，即亦即． 這說明方程在（0，1）內(nèi)至少有實根． 2 積分法對一些不易湊出原函數(shù)的問題，可用積分法找相應(yīng)的輔助函數(shù)． 例3：設(shè)在[1，2]上連續(xù)，在（1，2）內(nèi)
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