【正文】 本頁(yè)一式兩份，一份裝入學(xué)生檔案，一份由學(xué)院保存 。 拉格朗日中值定理作為微分中值定理中的一個(gè)承上啟下的一個(gè)重要定理， 研究其定理的證明方法，力求正確地理解和掌握它，并在此基礎(chǔ)上深入了解它的一些重要應(yīng)用，這是十分必要的，鑒于課本中對(duì)拉格朗日中值定理的應(yīng)用只是簡(jiǎn)單的舉了幾個(gè)例子，而很多研究者也只是研究了它在某個(gè)方面的特殊應(yīng)用，并沒(méi)有進(jìn)行系統(tǒng)的總結(jié)，有鑒于此，本文 將對(duì)其應(yīng)用進(jìn)行了深入的總結(jié)。 中值定理的主要用于理論分析和證明，例如為利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、 凹凸性、取極值、拐點(diǎn)等項(xiàng)重要函數(shù)性態(tài)提供了重要的理論依據(jù)，從而可以準(zhǔn)確把握函數(shù)圖像的各種幾何特征。 成績(jī) 學(xué)院負(fù)責(zé)人（簽名） 年 月 日 注：文科論文摘要不少于 500 字，理科不少于 300 字。總之，微分學(xué)中值定理是溝通函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值之間的重要橋梁，是利用導(dǎo)數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì)的有力工具。 25 表 6（學(xué)院用 ） 山東師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）答辯記錄表 學(xué)院： 數(shù)學(xué)科 學(xué)學(xué)院 （章）系別： 信息與計(jì)算 專業(yè)： 信息與計(jì)算科學(xué) 論文（設(shè)計(jì)）題目：拉格朗日中值定理的應(yīng)用 學(xué)生姓名 任雯蕾 學(xué) 號(hào) 202000820223 指導(dǎo)教師 范進(jìn)軍 職 稱 教授 答辯時(shí)間 2020 年 5月 16日 答辯地點(diǎn) 答辯委員會(huì)名單 姓 名 性別 職 稱 職 務(wù) 其它 劉茜 女 副教授 主任 肖新玲 女 講師 委員 宋麗葉 女 講師 秘書(shū) 范進(jìn)軍 男 教授 委員 答辯記錄： 記錄 人（簽名）： 答辯委員會(huì)主任（簽名）： 年 月 日 年 月 日 26 山東師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）摘要 學(xué)院： 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 專業(yè)： 信息與計(jì)算科學(xué) 班級(jí)： 2 班 姓名 任雯蕾 學(xué)號(hào) 202000820223 指導(dǎo)教師 范進(jìn)軍 論文（設(shè)計(jì)） 題 目 拉格朗日中值定理的應(yīng)用 關(guān)鍵詞 拉氏中值定理、應(yīng)用、極限、收斂 論文（設(shè)計(jì)）字?jǐn)?shù) 8000 內(nèi)容摘要： 以羅爾中值定理、拉格朗日中值定 理和柯西中值定理組成的一整組中值定理是整個(gè)微分學(xué)重要的和基本的理論基礎(chǔ)，而 拉格朗日中值定理因其中值性是這幾個(gè)中值定理中最重要的一個(gè)，在微分中值定理和高等數(shù)學(xué)中具有承上啟下的重要作用。 23 評(píng)閱人意見(jiàn) （包括選題的意義，資料收集或?qū)嶒?yàn)方法、數(shù)據(jù)處理等方面的能力，論證或?qū)嶒?yàn)是否合理，主要觀點(diǎn)或結(jié)果是否正確，有何獨(dú)到的見(jiàn)解或新的方法，基礎(chǔ)理論、專業(yè)知識(shí)的掌握程度及寫(xiě)作水平等，并就該論文是否達(dá)到本科畢業(yè)論文水平做出評(píng)價(jià)） 成績(jī)： 評(píng)閱人（簽名）： 年 月 日 注：成績(jī)按優(yōu)、良、中、合格、不合格五級(jí)分制計(jì)。 2020年 5月 4號(hào) 指導(dǎo)教師（簽名）： 學(xué)生（簽名）： 學(xué)院學(xué)位分委員會(huì)主任（簽名）： 年 月 日 注：本科論文（設(shè)計(jì)）的指導(dǎo)應(yīng)不少于 5次，如表格空間不足可另附頁(yè)。 2020年 4月 18號(hào) ： 完成論文三稿的修改和定稿工作，指導(dǎo)學(xué)生論文中遺留的問(wèn)題，進(jìn)一步審查了論文中的細(xì)節(jié)部分，包括字體大小，文章編排，指導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)閱讀畢業(yè)論文的格式要求，并完全按照標(biāo)準(zhǔn)完成論文。主要指導(dǎo)學(xué)生第一稿中尚未修改的遺留問(wèn)題，還包括論文中存在的其他新的問(wèn)題。另 外 指 出 學(xué) 生 抄 襲 的 地 方 ，指 導(dǎo) 其 改 正 、重 寫(xiě) 。 2020年 1月 9號(hào) ： 導(dǎo) 學(xué) 生 論 文 初 稿 的 撰 寫(xiě) 和 批 改 。 六、預(yù)期成果形式描述 預(yù)計(jì)形成 8000字左右的論文 七、 指導(dǎo)教師意見(jiàn) 指導(dǎo)教師（簽名）： 年 月 日 八、 學(xué)院學(xué)位分委員會(huì)意見(jiàn) 學(xué)院學(xué)位分委員會(huì)主任（簽名）： 年 月 日 21 表 5（學(xué)生教師合用） 山東師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）教師指導(dǎo)記錄表 學(xué)院： 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 系別： 信息與計(jì)算 專業(yè)： 信息與計(jì)算科學(xué) 論文（設(shè)計(jì)）題目：拉格朗日中值定理的應(yīng)用 學(xué)生姓名 任雯蕾 學(xué)號(hào) 202000820223 指導(dǎo)教師 范進(jìn)軍 職稱 教授 計(jì)劃完成時(shí)間： 202056 指導(dǎo)情況紀(jì)錄（含指導(dǎo)時(shí)間、指導(dǎo)內(nèi)容） 范進(jìn)軍導(dǎo)師在先 后幾次見(jiàn)面中都對(duì)我提出了許多寶貴和有價(jià)值的建議，我對(duì)他的建議非常重視，并且都有仔細(xì)記錄并且認(rèn)真思考，我總結(jié)了一下幾點(diǎn)： ： 與學(xué)生進(jìn)行初步談話，確定論文寫(xiě)作的大致方向，包括涉及到的主要結(jié)構(gòu)等，經(jīng)過(guò)分析、帥選，確定最終的選題。 四、 課題研究的可行性分析 大學(xué)期間，我們學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)分析、數(shù)學(xué)學(xué)分析方法等課程，并在論文準(zhǔn)備期間閱讀了很多關(guān)于這方面的資料，為我在這個(gè)課題上能夠獲得成績(jī)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，而且我們的這兩門(mén)課程的老師都十分注重教授給同學(xué)們關(guān)于數(shù)學(xué)分析一些基礎(chǔ)應(yīng)用方面的東西，授課時(shí)給我們補(bǔ)充了大量的關(guān)于應(yīng)用的內(nèi)容，耳濡目染，使得我能對(duì)拉格朗日中值定理的應(yīng)用做出十分系統(tǒng)的總結(jié)。 三、與本課題相關(guān)的國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀，預(yù)計(jì)可能有所創(chuàng)新的方面 研究現(xiàn)狀： 課本中關(guān)于拉格朗日中值定理的應(yīng)用并沒(méi)有專門(mén)的講解，而很多學(xué)者也只是研究了某一方面的應(yīng)用，并沒(méi)有進(jìn)行深入、系統(tǒng)的總結(jié)。 參考文獻(xiàn)： [1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析（第三版）（上冊(cè)） [M]．北京：高等教育出版社， 2020， 119121． [2] 華東師范大學(xué) .數(shù)學(xué)分析習(xí)題解析 [M]．陜西：陜 西師范大學(xué)出版社， 2020， 8791． [3] 裴禮文 . 數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法 [M]. 北京 : 高等教育出版社 , l993. [4] 韓應(yīng)華，姚貴平等 . 微分中值定理的應(yīng)用及推廣 [J].內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)， 2020,9 [5] 朱智和 .微分中值定理在解題中的若干應(yīng)用 [J]. 紹興文理學(xué)院學(xué)報(bào)， 2020,12 [6] 劉坤林，譚澤光 .大學(xué)數(shù)學(xué)概念、方法與技巧 [M].北京：清華大學(xué)出版社 ,2020, 6770． [7] 沈樹(shù)民．微積分解題分析上 [M].南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社， 2020， 140. [8] 余慶紅 .中值定理的應(yīng)用探討 [D].西安航空技術(shù)高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)， 2020（ 25）： 3436. [9] 錢(qián)吉林 .數(shù)學(xué)分析題解精粹 [M]．武漢：崇文書(shū)局， 2020， 6183． [10] ． Curriculum Theory（ 2nd） [J]． Peacock Press， 1986， 66． [11] G鑒于拉格朗日中值定理的應(yīng)用是一個(gè)非常龐大的、復(fù)雜的研究課題，并且因?yàn)槲易陨砝碚?、能力等諸多方面的不足，造成本文當(dāng)中還有很多不足和無(wú)法涉及到的方面和內(nèi)容 。 ?xf 矛盾， 故結(jié)論得證。 ,1 xxxx xxxx xfxff ???????? ?? 。 （唯一性）反證法，假設(shè)有兩個(gè)實(shí)根 21,xx ，使得 ? ? ? ? 2211 , xxfxxf ?? 。 ?xf ， 又 ? ? 10 ?? xf ，試證明在 ? ?1,0 內(nèi)，方程 ? ? 0??xxf 有唯一實(shí)根。 所以 ， 假 設(shè)不成立，即方程 ( ) 1 0f x x? ? ? 在 (0,1) 內(nèi)有唯一實(shí)根。( ) 1,f ? ?? 這與題設(shè) 39。 ( ) 1f x f x x xf x x x x? ? ? ? ?? ? ? ???。 證明： 存在性：令 ( ) ( ) 1,F x f x x? ? ?則 ()Fx 在 [0,1] 上可導(dǎo)，又 因 ( 0 ) ( 0 ) 0 1 0 , =F f F F? ? ? ? （ 1 ） （ 1 ） +110，且 0 ( ) 1fx??， 故由介值定理得 ()Fx 在 (0,1) 內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)， 即方程 ( ) 1 0f x x? ? ? 在（ 0,1）內(nèi)至少有一實(shí)根。 運(yùn)用拉格朗日中值定理證明根的存在性的關(guān)鍵在于