【正文】 the existence of the root 德州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 2021屆 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文 16 。 limit value。波利亞 .怎樣解題 數(shù)學(xué) [M].上海：上?？萍冀逃霭嫔?， 2021. The application of Lagrange formulation principle Sun Yanan （ Science of Mathematics College of Dezhou university, Dezhou city in Shandong province 253023） Abstract: Lagrange Median Theory is one of foundational theories in Infinitesimal calculus, and it is the important bridge between function and differential coefficient. Though analyzing further characters of the theory, the page has got a more profound cognition, and founding a assistant function to prove the rationality of Lagrange Theory. Based on the theory, we summarize several applications, among of which the theory is applied widely, for instance, evaluating limit value, proving inequality and equality, testifying convergence and the existence of the root. Key words: Lagrange median theory。0 ??????????? ? 其中 c 是常數(shù) ， 這與 )(xf 無(wú)界的假設(shè)矛盾 ， 即導(dǎo)函數(shù) )(39。使 ，? ?bax ,?? . ? ?bax ,0 ?? ， 再由有限增量公式 ? ?xxxxfxfxf ,),)(()()( 0039。 xf在 ? ?ba, 內(nèi)亦必?zé)o界 . 證明：用反證法 .設(shè) )(39。 2 )()1(2 )()0()1()( xfxfffxf ?? ????? 注意到 xxxxxxx ??????????? 22 ,10,1)1(,110,10 3)1(11)( 2239。39。39。))((39。 )1(2 )()1)(()()1( xfxxfxff ????? ? （ 1） 22 )(39。39。 ?xf .證明 ： 當(dāng) 3)(,10 39。0 abMxfxxfxfxf ?????? ? 則根據(jù)上面的不等式，則證明了 )(xf 在 ? ?ba, 有界 . 定理在導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用 函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)有著密切的聯(lián)系，我們?cè)谘芯繉?dǎo)函數(shù)的時(shí)候，可以利用研究函數(shù)的定理、方法，對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行研究 .下面給出可以利用拉朗日中值定理研究導(dǎo)函數(shù)的例子 . 例 9[8] 設(shè)函數(shù) )(xf 在區(qū)間 ? ?1,0 上二階可導(dǎo) ，當(dāng) 10 ??x 時(shí)，恒有 1)( ?xf , 2)(39。 在 內(nèi)有界 ， 證明 ： )(xf 在 ? ?ba, 有界 . 證明：取定 ? ? ? ? MxfMbaxbax ?????? )(,0, 39。39。 ??f 因此方程 ? ?baxf ,0)(39。39。39。39。39。 ?cf ， 這樣有 0)()()( 39。39。 ??? 并存在點(diǎn)有 )(max)( xfcfbxa ??? 證明：方程 ? ?baxf ,0)(39。 ??????? ?????? ffffff ff ? 而 0)0( ?f ， 由零點(diǎn)定理 ， 至少存在一點(diǎn) ? ， 使 0)( ??f . 例 7 設(shè)函數(shù) ? ?baxf ,)( 在 上三階可導(dǎo) ， ? ?bacbfaf ,0)()( 39。39。 ???? ?? 0)0( )0(2 )()0()0())0( )0(( 239。39。 xxfff ， 則在區(qū)間 ???????? )0( )0(,039。39。 ????? xfxfxfxfxfxg 于是 ? ?)1,0(0)()(2)( 20???? ? xxfdttfxg x 當(dāng) 根據(jù)證明的，則有 0)(39。1)(2)()(2)(2)( 39。 )()(2)()()()(2)( 已知 ? ?時(shí)故當(dāng) 1,0)),1,0((1)(39。0 ??? fxf ，試證 ： 德州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 2021屆 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文 12 dxxfdxxf ?? ????????? 103210)()( 證明：?jiǎn)栴}在于證明 0)()( 103210?????????? ?? dxxfdxxf 令 dttfdttfxF xx ?? ??????????0320)()()( 因?yàn)? 0)0( ?F ， 故只證明在區(qū)間 ? ?1,0 內(nèi)有 0)(39。 ???????? 步驟 3：根據(jù)步驟 1和步驟 2 證明的結(jié)果，我們可以得出： 當(dāng) 10 ??x 時(shí) ， 則 ： xxxff ln2)1()( )(39。39。 xxxxffxfxfxf xf ????? ??? （ 3） 注意到當(dāng) 10 ??x 時(shí) 01,1)( )(),()()(0 39。39。,0 ?? xgx 則 . 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，則函數(shù) )(xg 單調(diào)遞減的 .又因?yàn)?0)1()( ?gxg 在區(qū)間上連續(xù)，函數(shù) 則當(dāng) 0)1()(10 ???? gxgx 時(shí)， ，即 xxx ln21 ?? 成立 . 步驟 2：目標(biāo)在于證明函數(shù) ）在（ 1,0)(xf 內(nèi) ， 有 德州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 2021屆 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文 11 xxxf xfxxf xf ln2ln)()1(ln,)()1( 22 ??? 或 （ 2） 事實(shí)上，因?yàn)楹瘮?shù) 0)()( 39。 xfxf ?? 成立 ， 則當(dāng) 10 ??x 時(shí) ， 必有 )1(1)( xfxxxf ? 證明： 步驟 1：在證明該不等式成立之前，我們需要先證明這樣的一個(gè)不等式 xxx ln21 ?? （ 1） 構(gòu)造函數(shù) 1( ) 2 lng x x x x? ? ? 則有 22222 )1(12112)(39。 ??????? xx xx xx xxf 根據(jù)計(jì)算得 ）（ 00)(39。 xxxxxf ??? ????