微分中值定理推廣及其應用畢業(yè)論文(參考版)
2025-06-27 22:55本頁面
【正文】 在此謹向林老師致以誠摯的感謝！寫作畢業(yè)論文是一次再系統(tǒng)學習的過程，畢業(yè)論文的完成，同樣也意味著新的學習生活的開始。感謝我的指導老師，這篇論文是在林老師的的悉心指導與鼓勵下完成的。離別在即，我站在人生的又一個轉折點上，心中難免思緒萬千，心中一種感恩之情油然而生。由于本人能力有限，查找的資料也有局限性，本文對輔助函數(shù)的構造還未進行深入的研究， 這將是我以后研究的方向。我們知道，運用微分中值定理證明有關命題的關鍵是構造輔助函數(shù)，構造滿足某個中值定理條件的而得到要證明的結論。在證明不等式時,可以考慮從微分中值定理入手,找出切入點,靈活運用相關微分中值定理,進行系統(tǒng)的分析,從而得以巧妙解決.例 設,證明.證明 顯然等式當且僅當時成立.下證 當時,有 ①作輔助函數(shù),則在上滿足拉格朗日中值定理,則使 ②由于,所以 ③由②③有,即.小結 一般證明方法有兩種①利用泰勒定理把函數(shù)在特殊點展開,結論即可得證.②利用拉格朗日中值定理證明不等式,其步驟為：第一步 根據(jù)待證不等式構造一個合適的函數(shù),使不等式的一邊是這個函數(shù)在區(qū)間上的增量；第二步 驗證在上滿足拉格朗日中值定理的條件,并運用定理,使得等式的另一邊轉化為；第三步 把適當放大或縮小. 利用微分中值定理求極限及證明相關問題例 若在內可導,且,求.分析 由式,引進輔助函數(shù),顯然.解 由,知,當時,令,對,在上利用柯西中值定理有,即,亦有,或由于,所以當時有和,于是,使即.小結方法1 選擇適當?shù)暮瘮?shù)和區(qū)間利用拉格朗日中值定理并結合導函數(shù)的特點及極限的迫斂性求的最終結果.方法2 選擇適當?shù)暮瘮?shù)和區(qū)間利用柯西中值定理結合具體題意求的最終結果.對于有些求極限的題， 如果使用洛必達法則,使用微分中值定理,然后求出極.例 求,其中.解：對應用拉格朗日中值定理,有=== 其中導數(shù)是研究函數(shù)性態(tài)的重要工具, 但用導數(shù)研究函數(shù)性態(tài)的著眼點在局部范圍. 而在整體上或比較大的范圍運用導數(shù)這一工具來研究函數(shù)性態(tài), 主要工具還是微分中值定理,它是應用導數(shù)研究整體性問題的重要工具. 證明函數(shù)恒為常數(shù)這是函數(shù)的整體性質,在這個應用中微分中值定理很實用.例9 設在上連續(xù), ,且在內恒有. 其中為小于1 的常數(shù),試證:為常數(shù)函數(shù).證明：,不妨設,則,而,所以有=, 其中.同理
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