微分中值定理論文(參考版)
2025-06-27 22:55本頁面
【正文】 對微分中值定理本課題主要是以羅爾定理、拉格朗日定理和柯西定理，三個定理之間的聯(lián)系為主要的研究對象，希望通過本課題能讓大家加深了對的這三個定理的理解和應(yīng)用，也希望通過例題的解析，能使得大家在應(yīng)用微分中值定理上更加的嫻熟。也希望通過這幾道例子能讓大家對定理加深理解和應(yīng)用。通過以上的例題讓大家知道，應(yīng)用這幾定理的關(guān)鍵和解題的難點，是在于對輔助函數(shù)的構(gòu)造。證明 問題相當于要找，使，因函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，故，即又，即所以由定理2知，使得，即題目得證。若要運用中值定理來證明是否可以呢？下面給出該方法。分析：對于該題目我們通常會采用這樣一種證法，令，有，即可得證。然而對于的尋找，應(yīng)該從題目中條件的在開區(qū)間內(nèi)取到最大值入手。證明：當時結(jié)論顯然成立，當時，取或，在該區(qū)間設(shè) ，由Cauchy定理得： 或即當時，即又故，即當時，則故，即由此，不等式得證例2 已知在滿足，且在內(nèi)取最大值，試證：。在觀察不等式兩邊的代數(shù)式，不難看出左邊的代數(shù)式比較復(fù)雜，則是否可以把左邊的代數(shù)式構(gòu)造輔助函數(shù)，是題目可以運用中值定理解題呢？不妨設(shè)。分析：證明不等式最常用的方法有做差，做商，對于該題目如果直接應(yīng)用做差或者做商的話顯然是不行的。下面我們來通過例子來說明定理在證明中的運用。當我們學(xué)習(xí)了中值定理，知道了它在不等式的證明中起著巨大的作用。解： 令，則對于函數(shù)在上滿足Lagrangge定理可得： ， 當時，把得到的上述個不等式相加得： 即故 證明不等式對于數(shù)學(xué)體系來說不等式是一塊很重要的內(nèi)容。分析：由于題目中有和，則可以試著構(gòu)造輔助函數(shù)，那么就可以得到在連續(xù)，在可導(dǎo)，即可以利用Lagrange定理解題了。而用中值定理來解題，最關(guān)鍵在于輔助函數(shù)的構(gòu)造，然后在運用中值定理解題，即可求出極限。證明：令，對 ，在上運用Cauchy定理，得，即，即. 證畢 用定理求極限在求極限的題目里，有些題目如果運用通常的一些方法來求解的話，則會使我們在解題過程中出現(xiàn)很大的計算量，或者比較繁瑣的解題過
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