教案微分中值定理(參考版)
2025-01-09 06:45本頁(yè)面
【正文】 [鍵入文字 ]西安交通工程學(xué)院《高等數(shù)學(xué)》教案 7 / 7 西安交通工程學(xué)院《高等數(shù)學(xué)》課程建設(shè)組 。 ??f )0( 0x??? 12110 )1()(39。 【例 6】 【例 5】若方程 01110 ????? ?? xaxaxa nnn 有一個(gè)正根 0xx? ， 證明方程 0)1( 12110 ?????? ??? nnn axnanxa 必有一個(gè)小于 0x 的正根。 證：令 xxxf a r c c o sa r c s in)( ?? ， 01 11 1)(39。 證明： 令 )()()()( )()()( xfxFaFbF afbfx ?????，顯然， (x? 在 ],[ ba 上連續(xù)，且 )(x? 在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)，更進(jìn)一步還有 )()( ba ?? ? ，事實(shí)上， )()()()( )()()()()()( )()()()( afaFaFbf afbfbfbFaFbF afbfab ????????? ?? [鍵入文字 ]西安交通工程學(xué)院《高等數(shù)學(xué)》教案 6 / 7 西安交通工程學(xué)院《高等數(shù)學(xué)》課程建設(shè)組 0))()(())()(()()( )()( ??????? afbfaFbFaFbF afbf 所以 )(x? 滿(mǎn)足羅爾定理的條件，故在 ),( ba 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ? ，使得0)( ???? ， 又 )()()()( )()()( xfxFaFbF afbfx ???????? 0)()()()( )()( ??????? ?? fFaFbF afbf 因?yàn)?)( ???F ， )()( )()()( )( aFbF afbfFf ?????? ?? 注 1： 柯西中值定理 是 拉格朗日 中值定理的推廣，事實(shí)上，令 xxF ?)( ，就得到 拉格朗日 中值定理； 2：幾何意義：若用??? ?? )( )(xFY xfX （ bxa ?? ）表示曲線(xiàn) c ，則其幾何意義同前一個(gè)。= 由于 1()1fx x= + ， (0) 0f = ， 139。 【例 1】 【例 3】 證明當(dāng) 0x? 時(shí) ln (1 )1 x xxx + +. 證： 設(shè) ( ) ln (1 )f x x=+ ，顯然 ()fx 在 [0， x]上滿(mǎn)足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，故至少存在一點(diǎn) (0, )xx206。 由定理還可得到下列結(jié)論： 推論 1：如果 )(xfy? 在區(qū)間 I 上的導(dǎo)數(shù)恒為 0，則 )(xf 在 I 上是一個(gè)常數(shù) 。 4：設(shè)在點(diǎn) x 處有一個(gè)增量 x? ，得到點(diǎn) xx ?? ，在以 x 和 xx ?? 為端點(diǎn)的區(qū)間上應(yīng)用 拉格朗日 中值定理，有 xxxfxfxxf ????????? )()()( ? )10( ???
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