微分中值定理的推廣及其應(yīng)用畢業(yè)論文(參考版)
2025-06-28 16:20本頁(yè)面
【正文】 方法[M].科學(xué)教育出版社 2007致謝在論文的寫(xiě)作過(guò)程中，我得到了很多熱心人的幫助，特別是感謝宋老師以及給與我悉心的指導(dǎo)的朋友們，并引導(dǎo)我翻閱了大量的書(shū)籍，對(duì)論文進(jìn)行了多次、都使我受益匪淺，在此謹(jǐn)向宋老師致以衷心的謝意！。 徐湘云. 微分中值定理的解題應(yīng)用[J].中小企業(yè)管理與科技(上旬刊). 2010(08) 158[8] 胡適耕，：定理 郝佳. 微分中值定理的延伸及應(yīng)用[J]. 遼寧師專(zhuān)學(xué)報(bào). 2011（01）68[5] 張曉彥。時(shí)空教育 . 2009(02) 166[3] 童蓓蕾。又有,所以.當(dāng)時(shí), ,所以,.由此,不等式得證. 討論方程根的存在性注意到在中值定理中有,令,這樣就可以利用中值定理討論方程的根的存在性.例13 設(shè)為任意個(gè)實(shí)數(shù),證明函數(shù)在必有零點(diǎn).證明 作輔助函數(shù),則,容易驗(yàn)證在上連續(xù),在可導(dǎo),且 ,所以存在使得,在必存在零點(diǎn). 例14 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo),則的兩個(gè)零點(diǎn)間一定存在的零點(diǎn). 證明 (采用羅爾定理),則在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,由羅爾定理,存在,使得,即 ,而,故有,即的兩個(gè)零點(diǎn)間一定存在的零點(diǎn).例15 證明:若,則多項(xiàng)式在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.證明 令則,又有在連續(xù)可導(dǎo),且,滿(mǎn)足羅爾定理的條件,故存在使得即,結(jié)論得證.例16 若函數(shù)在上非負(fù),且三階可導(dǎo),.證明 因?yàn)榉匠淘趦?nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)根,設(shè)其分別為所以,又由于非負(fù)，根據(jù)極值定義可以知道為的兩個(gè)極值點(diǎn),所以有又因?yàn)闈M(mǎn)足羅爾定理，所以存在使得 ,又三階可導(dǎo)，所以滿(mǎn)足羅爾定理,即存在,使得 ,同樣滿(mǎn)足羅爾定理,則存在使得.證畢.例17 設(shè),則方程在內(nèi)有解.證明 將待證問(wèn)題轉(zhuǎn)化為中值問(wèn)題:存在使得,即,根據(jù)柯西中值定理直接得證,即方程在內(nèi)有解.例18 若函數(shù)在可導(dǎo),對(duì)與之間的任意數(shù),則在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得.證明 .作輔助函數(shù) , 與,即與 .由極限保號(hào)性,存在,使得,從而,.存在,使得 ,從而, .于是,有,即.結(jié)束語(yǔ)由上所述,我們發(fā)現(xiàn)微分中值定理的證明除了構(gòu)造輔助函數(shù),還可以利用其他的證明方法加以證明,利用微分中值定理還可以導(dǎo)出洛必達(dá)法則,(極值、最值、凹凸性)也要用到微分中值定理的結(jié)論. 深入研究微分中值定理,有助于加深對(duì)這些定理的理解。(2) 在內(nèi)可導(dǎo),證明存在,使得.證明 證法同例2,令即可證得.小結(jié) 如例3,例7中用羅爾定理證明,需要構(gòu)造出原函數(shù),此類(lèi)函數(shù)有固定的原型,利用微分中值定理容易得到想要證明的結(jié)論.例4 設(shè),在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo), .則有使得.證明 由于,且在上連續(xù)在內(nèi)可導(dǎo)，所以,必存在使得,根據(jù)羅爾定理,存在使得 .例5 證明恒等式:. 證明 令,則,所以,，所以,即成立.例6 設(shè)且在上連續(xù),.證明 變換待證等式為 其中,顯然,利用羅爾定理即可得.例7 設(shè),在內(nèi)可導(dǎo),則存在,使得.證明 變換待證等式為,所以,其中,于是,在上滿(mǎn)足羅爾定理,從而有結(jié)論.若待證等式明顯可表示為的形式,則很可能就是,因而,可以利用柯西定理證明.
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