【正文】 清楚這些定理的證明,能促使我們掌握微分中值定理的具體應(yīng)用.參考文獻(xiàn)[1] [M] 高等教育出版社 2003[2] [J].消費(fèi)導(dǎo)刊 Fermat39。（2） 若不是常數(shù),則非單調(diào),又有在上連續(xù)在內(nèi)可導(dǎo),根據(jù)引理1,存在,使得 .證畢. 拉格朗日中值定理的新證法證明（利用分析法證明拉格朗日中值定理）要證存在使得 成立，即證,存在使得 (1) (2)記,則由滿足羅爾定理的條件知,存在使得(2)成立,進(jìn)而(1). 柯西中值定理的新證法 證明 首先構(gòu)造輔助函數(shù),由于,由費(fèi)馬定理可知,必存在 ,對(duì)于任意,其中,.又由復(fù)合函數(shù)連續(xù)性定理即含參變量函數(shù)定理可證得在閉區(qū)間上連續(xù)。方法[M].科學(xué)教育出版社 2007致謝在論文的寫作過程中，我得到了很多熱心人的幫助，特別是感謝宋老師以及給與我悉心的指導(dǎo)的朋友們，并引導(dǎo)我翻閱了大量的書籍，對(duì)論文進(jìn)行了多次、都使我受益匪淺，在此謹(jǐn)向宋老師致以衷心的謝意！。則至少存在一點(diǎn)使得.證法 利用羅爾中值定理,構(gòu)造輔助函數(shù)..證明 作輔助函數(shù),顯然,在上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo),且,由羅爾定理可知,存在一點(diǎn) 使得 即.推論 設(shè)、都在區(qū)間上可導(dǎo),且,則 柯西中值定理 定理4 設(shè)函數(shù)、滿足:(1) 在閉區(qū)間上連續(xù)。若,則 。胡燕. 微分中值定理證法的改進(jìn)[J]. (07) 151[4] 李陽。當(dāng)時(shí),，即。 New method。,根據(jù)定理5可知,即.綜上所述,存在一點(diǎn)使得. 定理8(推廣一) 在連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),任意,.證明 作一個(gè)輔助函數(shù),則在連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,所以在上滿足羅爾定理,即存在使得.因?yàn)?所以,即得.定理9(推廣二) 若在有限或無窮區(qū)間中的任意一點(diǎn)有有限導(dǎo)數(shù)和,任意,都存在,則至少存在一點(diǎn)使得 .證明 首先證明.假設(shè)即,根據(jù)定理5可知,.其次,作輔助函數(shù)由已知得在可導(dǎo)且,所以,.根據(jù)定理5可知,至少存在一點(diǎn)使得即. 微分中值定理的推廣定理10 設(shè)函數(shù)在上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo),且,則在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得 .證明 根據(jù)題意,設(shè)顯然在上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo),并且 即,所以由羅爾中值定理可知在至少存在一點(diǎn)使得 證畢.當(dāng)上述式子中時(shí),可得到柯西中值定理。 徐湘云. 微分中值定理的解題應(yīng)用[J].中小企業(yè)管理與科技(上旬刊). 2010(08) 158[8] 胡適耕，：定理 (3) ,則至少存在一點(diǎn)使得.羅爾定理的幾何意義:若滿足羅爾定理的條件,則在曲線上至少存在一點(diǎn),使得點(diǎn)處的切線平行于軸(如圖), 其中,.證明 由于在閉區(qū)間上連續(xù),從而存在最大值,最小值.若則對(duì)任意有,即為常函數(shù),所以.若,不妨設(shè),則有,且在內(nèi)可導(dǎo),根據(jù)費(fèi)馬定理可知 .證畢. 拉格朗日中值定理 定理3 若函數(shù)滿足:(1) 在閉區(qū)間上連續(xù)。 (2) 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。 刁光成. 微分中值定理的推廣[J]. 科技天地. 2009(34) 3132[6] 朱美玉. 微分中值定理的進(jìn)一步探討[J]. 湖北廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào). 2009(08)