微分中值定理推廣及其應用畢業(yè)論文-文庫吧
2025-06-09 22:55 本頁面
【正文】 中經常出現的題型之一。利用中值定理證明中值點的存在性，要兼顧條件與結論，綜合分析，尋求證明思路。充分理解微分學的相關知識，掌握微分中值定理的內容，并會熟練的應用。使用微分中值定理證題，方法多種多樣，技巧性強。本文對這一部分的典型例題進行整理歸納總結，總結出一套符合初學者認知規(guī)律的解題方法是非常必要的，這也是進一步學習數學分析的基礎。二、微分中值定理及其證明為了應用導數的概念和運算來研究函數與實際問題，需要一個聯系局部與整體的工具，, 微分中值定理作為微分學的核心, 、 拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式是微分學的基本定理, 統(tǒng)稱為微分學的中值定理, 這四個定理作為微分學的基本定理, 是研究函數形態(tài)的有力工具.若函數滿足如下條件：（ⅰ）在閉區(qū)間上連續(xù)；（ⅱ）在開區(qū)間內可導；（ⅲ）,則在內至少存在一點使得羅爾定理的幾何意義是說：在每一點可導的一段連續(xù)曲線上，如果曲線的兩端點高度相等，則至少存在一條切線.證明：因為在上連續(xù)，所以有最大值與表示，現分兩種情況來討論：（1）若,則在上必為常數，從而結論顯然成立.（2）若,則因使得最大值與最小值至少有一個在內某點處取得，從而是的極值點，由條件在開區(qū)間內可導，在點處可導，故由費馬定理推知注：定理中的三個條件缺少任何一個，結論將不一定成立.先講羅爾定理,并由此推出微分學的兩個基本定理—拉格朗日中值定理和柯西中值定理.若函數滿足如下條件：（ⅰ）在閉區(qū)間上連續(xù)；（ⅱ）在開區(qū)間內可導；則在內至少存在一點使得 （1） 顯然，特別當時為羅爾定理。這表明羅爾定理是拉格朗日的定理的一個特殊情形.證明：做輔助函數顯然，(=0),且在上滿足羅爾定理的另兩個條件，故存在使，移項既得到所要證明的（1）式.拉格朗日中值定理的幾何意義是：在滿足定理條件的曲線上至少存在一點，該曲線在該點處的切線平行于曲線兩端點的連線,我們在證明中引入輔助函數，正是曲線與直線.三、微分中值定理的應用：（1） 根的存在定理若函數在區(qū)間上連續(xù)，且，則至少存在一點，.（2） 若函數的原函數在上滿足羅爾定理的條件，則在內至少有一個零值點.（3） 若函數的原函數在處導數也存在，由費馬定理知即.（4） 若函數的原函數在處導數也存在，由費馬定理知即.（5） 在證明方程根的存在性的過程中，經常用到拉格朗日定理，積分中值定理，有時也用到柯西中值定理來證明滿足方程的存在性所需的條件，然后利用上的方法來證明方程根的存在性.例 若在上連續(xù)，在內可導，證明在內方程。分析：由于題目是要求方程是否有根存在，所以可以先對方程進行變形，把方程變?yōu)?。那么方程有根的?
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