【正文】 mogeneous linear differential equation where the main use of the eigenvalue method。 in solving inhomogeneous linear differential equations in mainly uses the parison coefficient method, Laplace transform method and the constant variation. And secondly describes several types of differential equations can be reduced for the solution, the main tangible eg, appropriate derivative equations and Euler equations reduction method, and studied several types of more plex higher order differential equations reduction problem. Finally some real life examples of specific applications of these methods have been described. Key words: Higher Order Ordinary Differential Equations。 constant variation。 eigenvalue method。 reduction method 哈爾濱學院本科畢業(yè)論文（設計） 3 前 言 常微分方程作 為數(shù)學系重要專業(yè)的一門基礎課程，對學習好其他的科目起到了至關重要的作用。 它 的形成與發(fā)展是和力學、天文學、物理學，以及其他科 學技術的發(fā)展密切相關的。數(shù)學的其他分支的新發(fā)展，如復變函數(shù)、 拓撲學等，都對常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當前計算機的發(fā)展更是為常微分方程的應用及理論研究提供了非常有力的工具 。而 高階微分方程是常微分方程 中 的一個 重要的組成部分，在現(xiàn)實的生活中也有著廣泛的應用，比如工程問題。 常系數(shù)線性微分方程的解法，高階微分方程的降階問題 又 是高階微分方程的重中之重。 常微分方程是在生 產(chǎn)實踐和科學技術中產(chǎn)生的 。 目前 ，常微分方程在很多學科領域內(nèi)有著重要的應用，自動控制、各種電子學裝置的設計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學反應過程穩(wěn)定性的研究等。這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問題。 人們對于二階以及簡單的高階微分方程求解的方法有了很多理論成果，而高階常微分方程并沒有固定的解法， 例如，高階常系數(shù)線性齊次微分方程，我們可以運用特征根的方法進行求解，高階常系數(shù)線性非齊次微分方程，我們可以運用常數(shù)變易法，比較系數(shù)法，拉普拉斯變換法進行求解。而對于可以降階的高 階微分方程， 我們通常 采 用降階法，也就是通過一定的變換把高階微分方程求解的問題轉化成低階微分方程的求解問題。 本篇論文我總結了形如 ()nndy fxdx ?， ( ) ( 1 ) ( )( , , , , ) 0k k nF x y y y? ?， ()( , , , ) 0nF y y y? ?，恰當導數(shù)方程和 Euler 方程的降階方法 ，并且研究了幾類較為復雜的高階微分方程的降階問題，進而介紹此類問題在科學技術中的應用。 哈爾濱學院本科畢業(yè)論文（設計） 4 第一章 高階微分方程的理論與結構 定義 1（ 方程的階） 在一個常微分方程里，未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)叫做方程的階。 n階隱式方程的一般形式為 0),( )(39。 ?nyyyxF ? n 階顯式方程的一般形式為 ),( )1(39。)( ?? nn yyyxfy ? 定義 2（解） 設函數(shù) )(xy ?? 在區(qū)間 I 上有直到 n 階的導數(shù)。如果把 )(xy ?? 代入到方程 0),( )(39。 ?nyyyxF ? 得到在區(qū)間 I 上關于 x 的恒等式是 0))(,),(),(,( )(39。 ?xxxxF n??? ? 則稱 )(xy ?? 是方程 0),( )(39。 ?nyyyxF ? 在區(qū)間 I 上的一個解。 微分方程的解可以包括任意的常數(shù)，其中任意常數(shù)的個數(shù)可以多到和方程的階數(shù)相等，當然也可以不包括任意常數(shù)。我 們把方程 0),( )(39。 ?nyyyxF ? 的含有 n 個獨立的任意常數(shù) nCCC , 21 ? 的解 ),( 21 nCCCxy ??? 稱做該方程的通解。如果方程的解 )(xy ?? 不包含任意常數(shù)，則把它叫做特解。 方程 )()()()( 039。1)1(1)( xfyxayxayxay nnn ????? ?? ? （ 11） 稱做 n 階線性微分方程，它關于未知函數(shù) y 以及 各階導數(shù) )(39。39。39。 , nyyy ? 都是線性的。在這 里，我們通常假設 )1,1,0)(( ?? nixa i ? 和 )(xf 是區(qū)間 ),(ba 上的連續(xù)函數(shù)。如果)1,1,0)(( ?? nixa i ? 都是常數(shù)，則把方程（ 11）叫做 n 階常系數(shù)線性方程。如果方程的右端項 0)( ?xf ，即 哈爾濱學院本科畢業(yè)論文（設計） 5 0)()()( 039。1)1(1)( ????? ?? yxayxayxay nnn ? 則稱方程（ 11）是齊次的，否則為非齊次的。所 以對于方程（ 11）的齊次方程是 0)()()( 039。1)1(1)( ????? ?? yxayxayxay nnn ? （ 12） 定理 1（疊加原理） 設 )(1xy 和 )(2 xy 是齊次方程（ 12）的解，則對于任意常數(shù) 1c 和2c ， )()( 2211 xycxyc ? 也是方程（ 12）的解。 定理 2 設 )2,1)(( ?ixyi 是方程 )()()()( 039。1)1(1)( xfyxayxayxay innn ????? ?? ? 的解，則 )()( 21 xyxy ? 也是方程 )()()()()( 21039。1)1(1)( xfxfyxayxayxay nnn ?????? ?? ? 的解。 定理 3 設 )(,),(),( 21 xyxyxy n? 是齊次方程（ 12）的 n 個線性無關的特解，則 )(1 xycy ini i??? 是方程（ 12）的通解，其中 nccc , 21 ? 是任意常數(shù)。 定理 4 設 )(* xy 是非齊次線性方程（ 11）的任意一個確定的解， )(xY 是（ 11）對應的齊次線性方程（ 12）的通解。則 )()()( * xyxYxy ?? 是（ 11）的通解。 哈爾濱學院本科畢業(yè)論文（設計） 6 第二章 高階常系數(shù)線性微分方程 高階常系數(shù)線性齊次微分方程 對于 n 階常系數(shù)線性齊次方程 ? ? ? ? 0039。111 ????? ?? yayayay nnn ? （ 21） 其中 y 是關于 x 的未知函數(shù)，系數(shù) 011 , aaan ?? 是實常數(shù)。如果 xey ?? 是方程的根，把他代入到方程中，得 00111 ???? ?? xnnn eaaa ???? ）（ ? 因為 0?xe? ，因此 00111 ????? ?? aaa nnn ??? ? （ 22） 反之，如果 ? 滿足等式（ 22）， 則 xey ?? 是方程 (21)的解。式子（ 22）是關于 ? 的 n 次代數(shù)方程，則把他叫做微分方程（ 21）的特征方程，它的根就稱做特征根。下面根據(jù)特征根的不同情形分別進行討論方程解的情況。 特征根是單根的情況 定義 我們把 0)( 111 ?????? ?? nnnn aaaP ???? ?稱為方程 039。1)1(1)( ????? ?? yayayay nnnn ? 的特征方程，它的根叫做特征根。在這里把 ? 叫做待定系數(shù) 。 定理 如果特征方程 0)( 111 ?????? ?? nnnn aaaP ???? ?有 n 個互異的根n??? ?, 21 ，則 xnxx neyeyey ??? ??? , 21 21 ? 是方程 039。1)1(1)( ????? ?? yayayay nnnn ? 的一個基本解組。 哈爾濱學院本科畢業(yè)論文（設計） 7 特征方程 0)( 111 ?????? ?? nnnn aaaP ???? ?可能有復根，由于他的系數(shù)是實的，他的復根一定是共軛成對的出現(xiàn)。即此時在相異特征根 n??? , 21 ? 中有復數(shù)。例如),(1 為實數(shù)baibak ???? ，則 ibak ???1? 也是 0)( 111 ?????? ?? nnnn aaaP ???? ?的根。這兩個特征根所對應的解是實變量復值函數(shù) bxiebxeey bxiebxeey axaxxibakaxaxxibaks i nc os s i nc os)(1)(??? ??? ??? 例 1 求方程 044 ??xdtxd 的通解。 解 特征方程 014 ??? 的根是 ii ?????? 4321 ,1,1 ???? ，其中有兩個實根和兩個復根，但他們都是單根，所以所求方程的通解是 tctcececx tt s i nc o s 4321 ???? ? 在這里 4321 , cccc 是任意的常數(shù)。 特征根是重根的情況 定理 假設方程 039。1)1(1)( ????? ?? yayayay nnnn ?有互異的特征根 p??? ?, 21 ，他們的重數(shù)分別是 1, 21 ?ip mmmm ? ，并且 nmmm p ???? ?21 ，則與他們相對應的039。1)1(1)( ????? ?? yayayay nnnn