【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 在區(qū)間 )1( nn ，? 上是符合定理?xiàng)l件的。 所以 91010 10)1( ???? nn ，其中 nn ??? ?1 ，當(dāng) ???n 時(shí)， ???? 。 所以 ? ?101101 9910109 limlim ???? ?????? ?nnn n xn。 在有些求極限 問(wèn)題當(dāng)中，用常規(guī)方法很難入手，但是運(yùn)用拉格朗日中值定理卻可以迎刃而解，尤其是一些比較復(fù)雜的分式的極限計(jì)算問(wèn)題。 例 6 證明如果函數(shù) ??xf 在 R 上可導(dǎo)，極限? ? ? ? ? ? 0l i ml i ml i mx ??? ????????? xfxfxf xx 都存在，則極限與 。 證明：運(yùn)用拉格朗日中值定理 ? ? ? ? 。則設(shè) AxfAxf xx ??? ?????? 1, l i ml i m 于是有 ? ? ? ? ? ??xfxfxf ???? 1。 ?x ?x 1?x ,且又已知極限 ? ?xfx ????lim存 在， 則有 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?xfxffxfxxxx ?????? ????????? 1li mli mli m ? ? ? ? ? 01 l i ml i m ?????????? xfxf xx。 由此 ? ? ? 0lim ????? xfx。 12 例 7 證明調(diào)和級(jí)數(shù) ?? ????? n131211 是否收斂 證明：可做輔助函數(shù)為 xxf ln)( ? ，在區(qū)間 )1( ?NN， 上符合拉格朗日中值定理的 要求。 則存在一點(diǎn) )1( ?? NN，? ，使NNN 11ln)1ln ( ???? ?。 所以有 11ln2ln ?? ， 212ln3ln ?? ， 313ln4ln ?? ，……， nnn 1ln)1ln( ??? ， 所以 nn 131211)1ln ( ?????? ?, 由于 ?????? )1ln(lim nn，所以 nSn 1211 ???? ?是發(fā)散的。 在級(jí)數(shù)斂散性的判別問(wèn)題上，可以構(gòu)造輔助函數(shù)，研究在 )1( ?NN， 各個(gè)區(qū)間上的特點(diǎn)，最后相加可以進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用級(jí)數(shù)斂散性的判別法則給出判斷。 例 8 若一正項(xiàng)級(jí)數(shù) ? ?01 ????? aa nn n 發(fā)散， aaaa nn . . . . .321s ???? ，證明級(jí)數(shù)??? ?1n 1sann? （ ? 0）收斂。 證明：做輔助函數(shù) ? ? xxf?1?，則有 ? ?xxf ???? 1， 當(dāng) 2?n 時(shí) 在 閉 區(qū) 間 ? ?snn ,s 1? 上 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 得 到 ? ? ? ? ? ? ),( 111 ssss ss nnnnnnnn fff ????? ??? ??， ?????????? ???? ?? ssaannnn ???? ?? 1111n 11ns于是有 。 由 收斂?????????? ????? ssnn ???11112n，所以原題得證。 對(duì)于 證明估值問(wèn)題 ，尤其是二級(jí)或者二級(jí)以上的導(dǎo)函數(shù)估值， 一般情況下 通常 選用泰勒公式證明比較簡(jiǎn)便 。 但 是 對(duì)于某些積分 上的 估值，可以采用 拉格朗日中值定理 中值定理來(lái)證明 。 13 例 9 設(shè)導(dǎo)函數(shù) ??xf? 在 ? ?ca, 上連續(xù)，且有 ? ? ? ? 0?? bfaf ，記 M=max 設(shè)設(shè)導(dǎo)函數(shù) f′ (x)在 [a,c]上連續(xù)且 f(a) = f(b) = 0, 記 M = ? ?xfcxa ???max。 求證：24）（ ac? ? ??ca dxxfM? 。 證明 : 對(duì)任意的 b ∈ [a,c], 由拉格朗日中值定理可知 : ? ? ? ?? ??ca ca dxxfdxxf= ? ? ? ? ? ? ? ?dxxfcfdxafxf cbca ?? ??? = ? ? ? ? Mdxxcfdxaxf cbba ?????? ?? 21 ?? ? ? ? ? ?????? ???? ?ba cb dxxcdxax = ? ? ?????? ??? 22 )( 22 bcabM 。 令 2bab ?? ，則有 ? ? ? ? ? ?422ab222 acbc ???????? ?? ， 所以，原題得證，即24）（ ac? ? ??ca dxxfM? 。 例 10 設(shè) 39。( )fx 在 [, ]ab 上連續(xù)，且 ( ) ( ) 0f a f b??，試證 ab? ︱ 39。()fx︱ dx ? 4ba? ()fx︱ ︱ 。 證明： 若 ( ) 0fx? ，不等式顯然成立。 若 ()fx 不恒等于零， ( , )c a b?? 使 ()fx︱ ︱ = ()fc ，在 ( , )ac 及 [,]ac 上分別用拉氏中值定理，有 12( ) ( )39。( ) , 39。( ) ,f c f cffc a c b?????? 從而得： 112239。39。( ) 39。39。( ) 39。39。( )ab f x d x f x d x f x d x????? ? ?︱ ︱ ︱ ︱ ︱ ︱139。 ( 2) 39。 ( 1 ) ( ) ( )( ) ( )f f f c b ab c a c??? ? ? ? ??︱ ︱ ︱ ︱。 再利用 2()( ) ( ) 4bac a b c ?? ? ?， 即得所證。 14 數(shù)性態(tài) 若 ??xf 在 ? ?ba, 上連續(xù)，在 ? ?ba, 內(nèi)可導(dǎo)，則在 ? ?ba, 上 ? ? ? ? ? ?? ?039。0 xxfxfxf ??? ? （若 ? 在 x 與 0x 之間），這可視為函數(shù) ??xf 的一種變形，它建立了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，我們可以用它來(lái)研究有關(guān)函數(shù)性態(tài)，如函數(shù)的一致連續(xù)、單調(diào)性等 . （ 1）一致連續(xù) 例 11 證明如果 ??xf 在 ? ???,a 上可導(dǎo)，且 ? ????? ,ax ，有 ? ? Mxf ?39。 , 其中 0?M為常數(shù)，則 ??xf 在 ? ???,a 上一致連續(xù) . 證明 ： ? ????? , 21 axx ，在以 21,xx 為端點(diǎn)的區(qū)間上， 有 ? ? ? ? ? ?121239。 xx xfxff ???? ，且 ? 介于 21,xx 之間。 再利用已知條件，有 ? ? ? ? 1212 xxMxfxf ??? 即 ??xf 在 ? ???,a 上滿(mǎn)足 Lipschitz 條件， 則 ??xf 在 ? ???,a 上一致連續(xù)。 （ 2） 單調(diào)性 例 12 試證：若函數(shù) ??xf 在 ? ?a,0 0?a 上可導(dǎo)， ??xf39。 單調(diào)遞增，且 ?? 00?f ，則函數(shù) ??xxf 在 ? ?a,0 上單調(diào)遞增。 證明 ：對(duì)任意的 21,xx ? ?a,0? ，且 21 xx? ，則 ??xf 在 ? ?1,xo 和 ? ?21,xx 上均滿(mǎn)足 拉格朗日中值定理，于是分別存在 ? ?1,0x?? ， ? ?21,xx?? 使 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?121239。1139。 ,0 xx xfxffox fxff ?????? ?? 。 由于 ??xf39。 單調(diào)遞增，且 ?? 00?f ，所以 ? ? ? ??? 39。39。 ff ? ， 即： ? ? ? ? ? ?121211 xx xfxfxxf ??? ，通 分移項(xiàng)整理得 ? ? ? ?2211 xxfxxf ? ， 即函數(shù) ??xxf 在 ? ?a,0 上單調(diào)遞增。 （ 3） 有界性 15 例 13 設(shè)在 (, )ab 內(nèi) ()fx 可導(dǎo)且 39。()fx有界，試證 ()fx在 ( , )ab 有界 證明： 任取 0 ( , )x ab? ，有拉格朗日中值定理知： 00( ) ( ) 39。( ) ( )f x f x g x x?? ? ?（ ? 在 0,xx 之間）， 可得： ()fx︱ ︱ ? 0()fx︱ ︱ +｜ )(39。?f ︱ 0xx?︱ ︱ ? 0( ) ( )f x M b a??︱ ︱ ， 式中 M 是 39。( )fx在 (, )ab 內(nèi)的界，有︱ ()fx ︱ M? ， 即 ()fx 在 (, )ab 內(nèi)有界。 運(yùn)用拉格朗日中值定理證明根的存在性的關(guān)鍵在于：構(gòu)造輔助函數(shù)，運(yùn)用拉格朗日中值定理或者它的特殊形式羅爾中值定理與連續(xù)函數(shù)的介值性等證明根的存在性。 例 14設(shè) ()Fx 在 [0,1] 上可導(dǎo)，且 0 ( ) 1,fx??對(duì)于 (0,1) 內(nèi)的所有點(diǎn) x ，有( ) 1,fx?? 證明方程 ( ) 1 0f x x? ? ? 在 (0,1) 內(nèi)有唯一實(shí)