積分中值定理的推廣及應(yīng)用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-16 03:07 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 2（第一積分中值定理）：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在上不變號(hào)，并且在上是可積的，則在上至少存在一點(diǎn)，使得成立。證明：由于在上不變號(hào)，我們不妨假設(shè)，并且記在上的最大值和最小值為和，即，將不等式兩邊同乘以可知，此時(shí)對(duì)于任意的都有成立。對(duì)上式在上進(jìn)行積分，可得。此時(shí)在之間必存在數(shù)值，使得，即有成立。由于在區(qū)間上是連續(xù)的，則在上必定存在一點(diǎn)，使成立。此時(shí)即可得到，命題得證。 積分第二中值定理 定理3（積分第二中值定理）：如果函數(shù)在閉區(qū)間上可積，而在區(qū)間上單調(diào)，則在上至少存在一點(diǎn)，使下式成立 （22）特別地，如果在區(qū)間上單調(diào)上升且 ，那么存在，使下式成立 （23）如果在區(qū)間上單調(diào)下降且，那么存在，使下式成立 （24）證明：由題設(shè)條件知在區(qū)間上都是可積的，由積分性質(zhì)可知也是可積的。我們先證明（23）式，即在非負(fù)、且在區(qū)間上單調(diào)上升的情形下加以證明。 對(duì)于（24）式證明是類似的，最后我們?cè)賹⑵渫茖?dǎo)到一般情形，即可證明（22）式。在區(qū)間上取一系列分點(diǎn)使，記，其中為在上的幅度，即，再將所討論的積分作如下改變：將積分限等分為如下等份，并且記。則，因?yàn)樵谏峡煞e，且區(qū)間是有限的，所以在上有界，此時(shí)我們不妨假設(shè)。估計(jì)如下： 由于可積，所以當(dāng)時(shí)，有，從而有，從而可知我們記，由于函數(shù)在閉區(qū)間上可積，那么函數(shù)是上的連續(xù)函數(shù)，并且有最大值和最小值和，記為，很顯然，從而 因?yàn)槭欠秦?fù)的，并且在區(qū)間上單調(diào)上升，即有、成立，所以有下式成立。即有成立。從而可以得到，其中滿足。由于函數(shù)連續(xù)，則在之間存在一點(diǎn)，使成立，從而有公式（23）成立，即成立，（23）式得證。對(duì)于單調(diào)下降且的情形即公式（24）的證明過程是類似的，證明略。對(duì)于是一般單調(diào)上升情形，我們作輔助函數(shù)，其中為單調(diào)上升且，此時(shí)公式（23）對(duì)于是成立的，即存在使成立，這就證明了公式（22）。對(duì)于是一般單調(diào)下降的情形，此時(shí)應(yīng)用公式（24），同樣可得到（22）式，此命題得證。 幾何形體上黎曼積分第一中值定理定理4（第一中值定理）：若在上黎曼可積，則存在常數(shù)使得成立，這里的介于在上的上確界和下確界之間。證明：假設(shè)，由命題可知，由積分性質(zhì)，對(duì)不等式在上進(jìn)行黎曼積分可得，即有，其中為幾何形體的度量。此時(shí)即可得到是介于和之間，從而有成立，其中為位于之間的一個(gè)數(shù)，命題得證。定理5（二重積分的中值定理）：假設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，其中是的面積，則在上至少存在一點(diǎn)使得成立。證明：由于函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，假設(shè)在閉區(qū)域上的最大值和最小值分別為，即。對(duì)不等式在區(qū)域上進(jìn)行二重積分可得，即。其中為閉區(qū)域的面積，我們不妨記。由上式還可得到。由于，將不等式除以可得。由于函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，則在上至少存在一點(diǎn)使得 成立。將上式兩邊同乘以即可得到，從而命題得證。定理6（三重積分的中值定理）：設(shè)函數(shù)在空間閉區(qū)域上連續(xù)，其中是的體積，則在上至少存在一點(diǎn)使得成立。證明：由于函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，假設(shè)在閉區(qū)域上的最大值和最小值分別為，即。對(duì)不等式在區(qū)域上進(jìn)行三重積分可得，即，其中為閉區(qū)域的體積，我們不妨記。由上式還可得到。由于，將不等式同除以即可得到。由函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，則此時(shí)在上至少存在一點(diǎn)使得 成立。將上式兩邊同乘以即可得到，命題得證。3. 積分中值定理的推廣定理7（推廣的定積分中值定理） ：如果函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，則在開區(qū)間至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得下式成立。證明：作輔助函數(shù)如下：。由于在閉區(qū)間連續(xù)，則在上可微，且有成立。由微分中值定理可知：至少存在一點(diǎn)，使得成立。并且有，此時(shí)即可得到下式，命題得證。定理8（推廣的定積分第一中值定理）： 若函數(shù)是閉區(qū)間上可積函數(shù)，在上可積且不變號(hào)，則在開區(qū)間上至少存在一點(diǎn)，使得成立。證法1：由于函數(shù)在閉區(qū)間上是可積的，在上可積且不變號(hào)，令，很顯然在上連續(xù)。并且，， 。由柯西中值定理即可得到，即，命題得證。證法2：由于函數(shù)在上可積且不變號(hào)，我們不妨假設(shè)。而函數(shù)在閉區(qū)間上可積，我們令。假設(shè)是在閉區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，即。此時(shí)我們有下式成立（31）由于，則有，以下我們分兩種情形來進(jìn)行討論：[1]如果，由（31）式可知，則此時(shí)對(duì)于有成立。[2]如果，將（31）式除以可得，（32）我們記 ，（33）此時(shí)我們又分兩種情形繼續(xù)進(jìn)行討論：i如果（32）式中的等號(hào)不成立，即有成立，則此時(shí)存在，使得，我們不妨假設(shè)，其中。因?yàn)椋瑒t有。此時(shí)至少存在一點(diǎn)，使得，即有成立，從而結(jié)論成立。ii如果（32）式中僅有一個(gè)等號(hào)成立，不妨假設(shè)，因?yàn)椋藭r(shí)必存在（其中），使得，恒有成立，我們則可將（33）式可改寫為，因?yàn)椋瑒t有（34）又注意到，必有。于是（35）下證必存在，使。若不然，則在上恒有及成立，從而。如果，由達(dá)布定理在上有，這與矛盾。如果 ，這與（35）式矛盾。所以存在，使，定理證畢。 推廣定積分第二中值定理定理9（推廣定積分第二中值定理）： 如果函數(shù)在閉區(qū)間可積，在區(qū)間上可積且不變號(hào)，則在上必存在一點(diǎn)，使得成立。證明過程詳見參考文獻(xiàn)[9]。3．4 第一曲線積分中值定理定理10（第一型曲線積分中值定理）： 如果函數(shù)在光滑有界閉曲線上連續(xù)，則在曲線上至少
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