積分中值定理的推廣及應用畢業(yè)論文-預覽頁
【正文】 積分中值定理的應用……………………………………………………………23 估計積分值……………………………………………………………………23 求含定積分的極限……………………………………………………………24 確定積分號……………………………………………………………………24 比較積分大小…………………………………………………………………25 證明函數(shù)的單調性……………………………………………………………25 證明定理………………………………………………………………………257 結論………………………………………………………………………………29謝辭…………………………………………………………………………………30參考文獻……………………………………………………………………………311引言隨著時代的發(fā)展，數(shù)學也跟著時代步伐大邁步前進。而在此我們既討論了在特殊情況下的積分中值定理，即在一個區(qū)間上的情形。雖然有時第一積分中值定理在處理一些積分極限問題上顯得很繁瑣，但是我們任然可以把它當作一個基礎定理，解決一些現(xiàn)實問題。課題研究的主要目標則是通過研究和分析積分中值定理、推廣、漸進性，將各方面的應用如：估計積分值，求含有定積分的極限，確定積分號，比較積分大小，證明函數(shù)的單調性還有對阿貝爾判別法和狄理克萊判別法這兩個定理的證明總結出積分中值定理并把其以論文的形式整理出來。證明：由于，將（2－1）同時除以可得。 積分第一中值定理定理2（第一積分中值定理）：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在上不變號，并且在上是可積的，則在上至少存在一點，使得成立。由于在區(qū)間上是連續(xù)的，則在上必定存在一點，使成立。 對于（24）式證明是類似的，最后我們再將其推導到一般情形，即可證明（22）式。即有成立。對于是一般單調上升情形，我們作輔助函數(shù)，其中為單調上升且，此時公式（23）對于是成立的，即存在使成立，這就證明了公式（22）。此時即可得到是介于和之間，從而有成立，其中為位于之間的一個數(shù)，命題得證。其中為閉區(qū)域的面積，我們不妨記。將上式兩邊同乘以即可得到，從而命題得證。由上式還可得到。3. 積分中值定理的推廣定理7（推廣的定積分中值定理） ：如果函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，則在開區(qū)間至少存在一個點，使得下式成立。并且有，此時即可得到下式，命題得證。由柯西中值定理即可得到，即，命題得證。此時我們有下式成立（31）由于，則有，以下我們分兩種情形來進行討論：[1]如果，由（31）式可知，則此時對于有成立。ii如果（32）式中僅有一個等號成立，不妨假設，因為，此時必存在（其中），使得，恒有成立，我們則可將（33）式可改寫為，因為，則有（34）又注意到，必有。如果 ，這與（35）式矛盾。3．4 第一曲線積分中值定理定理10（第一型曲線積分中值定理）： 如果函數(shù)在光滑有界閉曲線上連續(xù)，則在曲線上至少存在一點，使成立，其中為曲線的弧長。證明：因為函數(shù)在有界閉曲線上連續(xù)，所以存在，其中，對上式進行第二型曲線積分可得（36）其中為有向光滑曲線在軸上的投影，此時我們不妨記，并且分以下兩種情況進行討論：[1]假設，將（36）式除以可得。證明：因為在曲面上連續(xù)，所以存在且使得成立，我們對上式在上進行第一類曲面積分可得，其中為曲面的面積，且，因為，兩邊同除以有，由于在曲面上連續(xù)，故由介值定理，在曲面上至少存在一點，使，成立，兩邊同時乘以可得，命題得證。由以上證明過程可得，從而結論成立。另一方面，由積分中值定理和洛比達法則可得=由洛比達法則，則有，因此可得。一方面，當時，分子分母同時趨于零，滿足洛比達法則條件，由洛比達法則，有=由于，則，且函數(shù)階導數(shù)，則上式等于（43）另一方面，由積分中值定理。則==對使用洛比達法則可得 （46）比較（45）、（46）式我們可以得到。一方面，當時，分子分母同時趨于零，滿足洛比達法則條件，由洛比達法則可得（51）另一方面，由第二積分中值定理，有（52）比較（51）、（52）式知，即可得到。證明：構造輔助函數(shù)，證明可仿造定理17，證明過程略。于是此時可得到估計的積分值為。因此。 求含定積分的極限例4 求極限解：利用廣義積分中值定理 則 確定積分號例5確定積分的符號解：由積分中值定理可知其中。證明：利用分歩積分法，將化為對上式求導，可以得到：。證明：由假設條件，利用第二中值定理，在任何一個區(qū)間上（其中），存在，使得。證明：對應用第二積分中值定理，證明過程略。因此，當時，將看成給定常數(shù)，則由積分第二中值定理中的公式因為對任意的都有，則。又因，所以，同樣我們有 。備注5： 當討論二元函數(shù)的積分限為含有參變量時，則含參變量的廣義積分的狄立克萊判別法寫為：設積分對于和是一致有界的，即存在正數(shù)，使對上述成立又因為關于是單調的，并且當時，關于上的一致趨于零，即對于任意給定的正數(shù)，有，當時，對一切成立 ，那么積分關于在上是一致收斂的。而且對于現(xiàn)在比較熱門研究的漸進性問題有了初步了解，但相對于當今的研究方向來說討論還是比較少的，并且討論的時候對于給出的條件比較苛刻。在選題，查找資料，撰寫，到反復修改，乃至定稿，都得到了黃老師的
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