柯西-西瓦茲不等式的推廣及應(yīng)用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2024-07-25 21:53 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 于形式美觀便于推廣設(shè)均在上可積，則有 （）證明:注意到關(guān)于 的二次型為非負(fù)二次型，從而其系數(shù)行列式從而得證.推論3:設(shè) 均在上可積，則有 （），且試證：證明：同理有：則 例22．設(shè) 在上連續(xù)，證明：證法一：把不等式中的換成,移項(xiàng)得設(shè)則 為單調(diào)函數(shù)，故，所以證法二：根據(jù) 得證. 證法一用構(gòu)造輔助函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明，證法二利用柯西西瓦茲不等式證明，所以我們可以看出后者比前者簡(jiǎn)單的.（1）（2）則有證明：利用（） ，則有由此得到 注意到定義中的條件（1） ，于是，從而得例24．設(shè)在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，試證： 證明：令 則，由知 因此例25．設(shè)在上連續(xù)，且，證明證明：由（）式得[0,1]上連續(xù)可微，:證明：由于根據(jù)（）式即例27．設(shè)在上具有連續(xù)可導(dǎo)，且 ，證明:證明：由于 在上對(duì)任何實(shí)數(shù)都不恒等于0，否則，設(shè)有使由此可解得：,再由，得，這與 矛盾。由上知，有嚴(yán)格不等式而從而有例28．設(shè)在上可微且 連續(xù)，,證明：證明：因?yàn)檫B續(xù)，且，故因?yàn)?，故從到積分得到： 柯西西瓦茲不等式在維歐氏空間中的推廣與應(yīng)用定義：設(shè)在維歐氏空間中， 是兩個(gè)任意的維向量，則 （）或（） 證明:考慮關(guān)于變?cè)囊辉畏匠?此方程或者只有0解或者無(wú)實(shí)數(shù)解，將方程整理得：我們知道一元二次方程只有0解或者無(wú)解得條件為所以得： 即即柯西西瓦茲不等式在一個(gè)歐氏空間里，對(duì)于任意的 有不等式 當(dāng)且僅當(dāng)與線(xiàn)性相關(guān)時(shí)，等號(hào)成立.這個(gè)不等式用于歐氏空間中，對(duì)于任意的 則有這是柯西不等式。不等式用于歐氏空間中，對(duì)于任意,有 ，則命題可敘述為:設(shè) 是一個(gè)歐氏空間，則對(duì) 有，當(dāng)且僅當(dāng)與 線(xiàn)性相關(guān)時(shí)，等號(hào)成立.下面將此命題推廣得：設(shè) 是一個(gè)歐氏空間，是的任意一個(gè)向量組，則 的行列式當(dāng)且僅當(dāng) 線(xiàn)性相關(guān)時(shí)，等號(hào)成立.證明：設(shè)線(xiàn)性相關(guān)，則存在不全為0的數(shù) 使 因?yàn)?，即是? 不全為零，即上式有非零解所以若線(xiàn)性無(wú)關(guān)，由可得出 的正交組 且，其中顯然 ，所以可逆，于是向量組 與 等價(jià)，它們生成相同的子空間是的基， 是的正交基可設(shè)由坐標(biāo)變換公式 其中 則 由于 的任意性，知，所以 應(yīng)用于歐氏空間 中，可以使一些較復(fù)雜的不等式的證明顯得十分簡(jiǎn)單。例31．證明：證明：取由柯西西瓦茲不等式易知 整理得：例32．若都是正數(shù)，又（常數(shù)）求證：證明：設(shè)根據(jù)不等式（）得：即：兩邊平方就可得：例33．已知: 求證: 證明：構(gòu)造向量所以 根據(jù)（）式得：例34．設(shè)且,求證：
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