柯西施瓦茨不等式的四種不同形式的內(nèi)在聯(lián)系畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2024-07-20 14:37 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 等式、求函數(shù)最值、線性代數(shù)的矢量，研究三角形的相關(guān)問(wèn)題，數(shù)學(xué)分析的無(wú)窮級(jí)數(shù)和乘積的積分，和概率論的方差，求方程系數(shù)，判斷極值的存在性。 設(shè)則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式等號(hào)成立.證明：通過(guò)構(gòu)造關(guān)于的二次函數(shù)來(lái)證明設(shè)若即時(shí)，顯然不等式成立.若時(shí)，則有且由于成立，所以且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式等號(hào)成立.故 應(yīng)用在中學(xué)數(shù)學(xué)和競(jìng)賽數(shù)學(xué)中常常巧妙地應(yīng)用柯西—施瓦茨不等式（即CauchySchwarz不等式）將許多繁瑣復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，比如常常用于求證不等式、最值、解方程組和解三角形的相關(guān)問(wèn)題，而運(yùn)用柯西施瓦茨不等式的關(guān)鍵在于根據(jù)問(wèn)題的要求并按照其形式，巧妙地構(gòu)造兩組數(shù)。 用于證明不等式例1．已知都是正數(shù)，求證：證明：根據(jù)柯西—施瓦茨不等式的形式構(gòu)造兩個(gè)數(shù)組： 利用柯西施瓦茨不等式有即所以 用于求最值.解：根據(jù)柯西—施瓦茨不等式的形式構(gòu)造兩個(gè)數(shù)組：和則有即所以的最小值. 用于解方程組例3. 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解方程組解：由柯西施瓦茨不等式知 所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，并將其與聯(lián)立解方程組可得：例4. 設(shè)分別為三角形三邊，其對(duì)應(yīng)的高分別為為三角形外切圓半徑，且滿足，試確定三角形的形狀.解：設(shè)三角形的面積為，則 故等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，因此，此三角形為等邊三角形。 [1]在維歐氏空間中，對(duì)任意向量有其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān)時(shí)成立。證明：證法1 通過(guò)構(gòu)造關(guān)于的二次函數(shù)來(lái)證明設(shè)由實(shí)向量的內(nèi)積的雙線性，對(duì)稱性和正定性可知當(dāng)時(shí)，不等式成立。當(dāng)時(shí)，由于成立，則等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，即不等式得證。證法2 通過(guò)利用實(shí)向量空間的內(nèi)積的基本性質(zhì)來(lái)證明如果故結(jié)論成立。若由內(nèi)積的正定性知令仍由內(nèi)積的正定性知，且等號(hào)只在時(shí)成立。把的表達(dá)式代入，利用內(nèi)積的雙線性計(jì)算得 由于且由內(nèi)積的對(duì)稱性知故，其等號(hào)只在時(shí)成立，即時(shí)成立，不等式獲證。注：如果把此不等式中的內(nèi)積用坐標(biāo)表達(dá)出來(lái)，就是下述不等式：它也被稱為柯西—布尼亞可夫斯基不等式。 用于證明不等式例5. 證明：證明：取由柯西施瓦茨不等式得整理得：例6. 已知的最小值。解：構(gòu)造向量可得：由柯西施瓦茨不等式得： 則 即的最小值為. 用于證明三維空間中點(diǎn)到面的距離公式例7. 已知為三維空間中的一點(diǎn)，平面求點(diǎn)解：設(shè)為平面上的任意一點(diǎn)，則 又因?yàn)橛煽挛魇┩叽牟坏仁接?
研究報(bào)告相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1