【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 a f n? ?? 命題 4 若 ()( 1)n fna fn? ?， 0, (0) 1naf??，則1 ( ),nkk a f n n N? ??? 前兩個(gè)命題的證明很簡(jiǎn)單，命題 1 用反證法，命題 2 在一直不等式兩邊取對(duì)數(shù)即化歸為命題 1,。這兩個(gè)命題是對(duì)偶的。命題 3 和命題 4 是對(duì)偶的。 下面看兩個(gè)實(shí)例： 例 1 證明對(duì)任意的 *,mn N? ,不等式 1 1 1...ln( 1 ) ln( 2 ) ln( ) ( )nm m m n m m n? ? ? ?? ? ? ?恒成 14 立。 分析：當(dāng)把 m 固定時(shí)，就是關(guān)于 n 的不等式，符合命題 1 的條件。 證明：由命題 1，我們只需證明 11ln( ) ( ) ( 1 )nnm n m m n m m n???? ? ? ?（ 1）l n ( ) ( ) ( 1 )m n m n m n? ? ? ? ? ? （ 2） 由此可構(gòu)造函數(shù) 2( ) lnf x x x x? ? ? 則 21 2 1( ) 2 1 xxf x xxx ??? ? ? ? ? ?, 顯然當(dāng)Embedded LINGO Model110 , ( ) 0 。 , ( ) 022x f x x f x??? ? ? ? ?. ()fx在 12x? 時(shí)取極大值。即 11( ) ( ) ln 2 024f x f? ? ? ? 在區(qū)間 (0, )? 上恒成立。 有 ( ) l n ( ) ( ) ( 1 ) 0f m n m n m n m n? ? ? ? ? ? ? ? ? 11ln( ) ( ) ( 1 )nnm n m m n m m n???? ? ? ?成立 ? 1 1 1...l n ( 1 ) l n ( 2 ) l n ( )1 1 2 1[ ] [ ] . . .( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )()m m m nn n n nm m n m m n m m n m m n m mnm m n? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? 例 ： 133 6 9 3 3 2...2 5 8 3 1 2nnn ???? ? ? ? ? ??? ??，對(duì)任意的正整數(shù)恒成立。 分析：對(duì)許多和正整數(shù)有關(guān)的命題，可以考慮數(shù)學(xué)歸納法。但數(shù)學(xué)歸納法比較繁瑣，而且容易寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 15 掩蓋問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)。對(duì)于一個(gè)較難的問(wèn)題，可能我們使用數(shù)學(xué)歸納法不需要觸及到問(wèn)題的本質(zhì)，只需要按部就班的運(yùn)用就可以 使問(wèn)題獲解，但即使我們給出了解答，也很是迷茫。于是我們將變形為 33 6 9 3 3 2...2 5 8 3 1 2nnn ???? ? ? ? ??????。 證明：先證明 33 323 1 3 2 121 1 3313 1 3 1 3 1 3 12nnnnn n n n? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? 為此，構(gòu)造函數(shù) ( ) (1 ) 1nf x x nx? ? ? ? 只需證明 ( ) (1 ) 1 0nf x x n x? ? ? ? ?在 [1, )? 成立即可。這幾乎是顯然的，就是伯努利不等式。 33 3 23 1 3 1nn???????????成立 3 3 3 3 33 6 9 3 3 6 9 3... ...2 5 8 3 1 2 5 8 3 15 8 11 3 2 3 2...2 5 8 3 1 2nnnnn? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?? 即 133 6 9 3 3 2...2 5 8 3 1 2nnn ???? ? ? ? ? ??? ??。 證畢 從總體上看，數(shù)列型不等式是相當(dāng)廣泛的。而上面的方法好處在于能夠讓我們較快的發(fā)現(xiàn)需要構(gòu)造的函數(shù)，觸及問(wèn)題的核心，使問(wèn)題獲解。 其他例子 如果不是這種類(lèi)型的不等式呢？ 我們看下兩例 例 3 證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù) x ，均有22 1 1 2 12 1 2xx? ? ?? ? ??。 證明：構(gòu)造函數(shù)2 1() 1xfx x ?? ?，當(dāng) 1x? 時(shí) 16 則2 2 21 1 1 1() 21 ( 1 1 ) 1 ( 1 ) 2( 1 ) 2( 1 ) 21x x xfx x x x xxx? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? 令 2()g t tt??，就是對(duì)勾函數(shù)。利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性知道 1x? 時(shí)， 11()( 2 ) ( 2 )fxgg??? ，即 222 1 1 2 1 1,02 1 2 1xx? ? ? ?? ? ? ??? 1x? 時(shí)， (1) 0f ? 綜上所述 22 1 1 2 12 1 2xx? ? ?? ? ?? 下面的這道例題選自《代數(shù)不等式》： 例 4 對(duì)于正數(shù) ,xy， ( , )=ln lnxyL x y xy xy? ( , )=Lxx x =xy 叫做 x,y 的對(duì)數(shù)平均數(shù)， +( , )= 2xyM x y 叫做算術(shù)平均數(shù)， ( , )=G xy xy 叫做幾何平均數(shù)。本文將證明下列不等式： ( , ) ( , ) ( , )G x y L x y M x y??。 證明：首先證明前一個(gè)不等式： (x,y) ( , )G L x y? 。 證明：不妨設(shè) xy? ， 1，當(dāng) xy時(shí)欲證 ln lnxyxy xy? 只需證明 1lnxx yxyy? ??? 寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 17 在上式中，令 = , 1xtty，即得： 212lntt t? ()? 作函數(shù) 2(t)=t 2 ln 1g t t 。則 ( ) =2( 1lnt)g t t? 作函數(shù) ( )= 1lnh t t t ，則 1 1( ) =1 = tht tt? ，由此可以看出 =1 ( )t h t是 的 極 小 值 點(diǎn)，因此有 ? ? (1)=0h t h? 所以 ?? 0gt?? 。 ()gt 是 單 調(diào) 遞 增 函 數(shù) 。 當(dāng) ? ? ? ?t 1 g 1 =0t時(shí) ， 有 g 即 ?（ ） 成 立 。 2，當(dāng) = ( , ) = L ( x , x ) = xx y L x y時(shí) ， 按 照 定 義 ， ( , )=G(x,x)=xG x y 顯然有 ( , )= ( , )G x y L x y .. 綜上所述 ( , ) ( , )G x y L x y? 成 立 。 接下來(lái)證明 ( , ) ( , )L x y M x y? 即 當(dāng) xy? 時(shí)，有 18 +ln ln 2x y x yxy? （ 1） 當(dāng) +x=y =2xx 時(shí) ， x 不妨設(shè) xy 欲證不等式（ 1）成立只需證明 1 +1 2lnxxyyxy (2) 在（ 2）中令 = , 1xtty，即 1 +1ln 2ttt （ 3） 作函數(shù) (t)=tlnt+lnt2t+2? 。導(dǎo)數(shù) ? ? ? ?1 l n( t) = , t 1 1 = 0 .t t t tt? ? ???? 當(dāng) 時(shí) ， 顯 然 有 ，即當(dāng) t1時(shí)， t)?（ 時(shí)減函數(shù)。 所以 (t) (1)=0?? ， ??3 成立，（ 2）成立，（ 1）成立。 當(dāng) = ( , ) = ( x , )x y M y時(shí) ， 顯 然 有 L x y。 綜上所述，有 ( , ) ( , )L x y G x y? 成立。 不等式 ( , ) ( , ) ( , )G x y L x y M x y?? 得證。 構(gòu)造方程 構(gòu)造方程模型證明不等式，往往和一元二次方程聯(lián)系起來(lái)，有時(shí)這種 選擇是最佳的。把不等式轉(zhuǎn)化為 2 4b ac?? ? 的形式，大多情況下需要考慮根的分布情況，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解。歷史上，著名的柯西不等式就是運(yùn)用構(gòu)造方程的方法解決的。 例 5 已知 ,abc R? ，求證： 2( 2 ) 3 ( 2 ) ( )b a c a b c a c? ? ? ? ? ?。 證明： ac? 時(shí) 不等式顯然成立。將不等式變形為 寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 19 2[ 2 ( 2 ) ] 12 ( 2 ) ( )b a c a b c a c? ? ? ? ? ?， 則式 2[ 2 ( 2 ) ] 12 ( 2 ) ( )b a c a b c a c? ? ? ? ? ? 當(dāng) ac? 時(shí)，可以看作一元二次方程 23 ( ) 2( 2 ) 2 0a c x b a c x a b c? ? ? ? ? ? ? ? （ 1） 的判別式。 觀察知道 1x? 是（ 1）的一個(gè)根，因此判別式 2[ 2( 2 ) ] 12( 2 ) ( ) 0b a c a b c a c? ? ? ? ? ? ? 即 2( 2 ) 3 ( 2 ) ( )b a c a b c a c? ? ? ? ? ? 等號(hào)成立的條件是 2( 2 ) 23( )b a cac?????，即 2a b c?? 。 當(dāng)然，此題方法不止一種 證法二：作差法 2 2 2 22 2 2222( 2 ) 3 ( 2 ) ( ) 4 2 4 42 ( 2 ) 4 42 ( 2 ) ( 2 )( 2 ) 0b a c a b c a c a b c a b a c b ca a b c b b c ca a b c b ca b c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? 2( 2 ) 3 ( 2 ) ( )b a c a b c a c? ? ? ? ? ? ? 成立的條件是 2a b c?? 評(píng)注：這里用到了主元法。 構(gòu)造數(shù)列 構(gòu)造數(shù)列證明不等式，主要是利用數(shù)列的單調(diào)性。 例 6 對(duì)一切大于 1 的自然數(shù)，證明： 1 1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) . . . ( 1 )3 5 2 1 2nn ?? ? ? ?? 分析：這是上面所說(shuō)的數(shù)列型不等式，因此可以構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)證明。但除此而外，也可以 20 構(gòu)造數(shù)列進(jìn)行證明。 證明：構(gòu)造數(shù)列 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) .. .( 1 )3 5 2