【文章內(nèi)容簡介】 。232。2248。 淮南師范學(xué)院2012屆本科畢業(yè)論文 7 \log23log340,\log23,=log827log816log916= 利用特殊函數(shù)的有界性這里的特殊函數(shù)主要指一些大家熟知有界性的函數(shù),如|sinx|163。1,|cosx|163。1,x2179。[5] 已知a,b為整數(shù),并且a+b163。p,求證：1sina2+1sin2b179。sin22a+： Qa0,b0,a+b163。p，\sina0,sinb0,cos(a+b)cos(ab)163。1，\1sina2+41sin2b179。2sinasinb2=4cos(ab)cos(a+b)179。1cos(a+b)=sin2a+b2.(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)). 利用一般函數(shù)的性質(zhì) 求證a163。3時(shí),證明：令f(n)=1n+11n+1++1n+21n+2+L+13n+113n+12a5,)，+L+(n206。1f(n+1)f(n)==213n+2+13n+3+3n+41n+13(n+1)(3n+2)(3n+4)0.\f(n+1)f(n)，f(n)是增函數(shù),其最小值為f(1),f(n)min=f(1)=12+13+14=1312，淺談?dòng)梅趴s法證明不等式 8 故對一切自然數(shù),f(n)179。13121；再由a163。3,知2a5163。1,比較得： 當(dāng)a163。3時(shí)，1n+1+1n+2+L+xx+a213n+12a5, 設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)=的充要條件是a1.,求證：對任意的x,y206。R,|f(x)f(y)|1證明：利用求導(dǎo)數(shù)、均值不等式或判別式法均可求得：f(x)max=12a,f(x)min=(x)max=1a12a,f(x)min=12a，得163。f(x)f(y)163。1a, ，即|f(x)f(y)|max= 故對x,y206。R，1a|f(x)f(y)|1219。|f(x)f(y)|max1219。1a1219。a 已知an=1230。n1t+231。n2232。t1246。,t206。[,2],Tn是{an}的前n247。2248。n項(xiàng)和230。2246。247。求證:Tn2n231。231。2247。:令f(t)=1230。n1246。231。t+n247。,則: 2232。t248。n230。n11246。+n+1247。 231。t2232。t248。 f162。(t)=令f162。(t)=0,得t= 9 1 當(dāng)2163。t1時(shí), f162。(t)0；當(dāng)1t163。2時(shí), f162。(t)0。12從而可知f(t)在[,1]上遞減,在[1,2]上遞增,故：{f(t)}max=max237。f231。247。,f(2)253。=2n+238。232。2248。254。236。230。1246。252。12n\f(t)163。2n+即an163。2n+12n12n ,n=1,2,L2n249。1233。111230。246。230。246。2nTn163。234。2+2+L+2++231。247。+L+231。247。2234。2232。2248。232。2248。235。n1233。230。1246。249。 =21+234。1231。247。2235。232。2248。234。nn233。249。11230。246。n =2234。1+231。247。2234。232。2248。235。n230。1246。 221231。247。2232。2248。n1230。2246。247。 =2n231。231。2247。232。248。n 綜合法對于比較復(fù)雜的不等式證明,(1985年高考題)證明：Qn(n+1)179。n2[7]n(n+1)2=n12+23+L+n(n+1)(n+1)22,(n206。N)n(n+1)2 12+23+Ln(n+1)179。1+2+L+n= 而n(n+1)n(n+1)2 ①1+22+2+32+Ln+(n+1)2 \12+23+Ln(n+1)淺談?dòng)梅趴s法證明不等式 10 = =32+52+L2n+1212+32+52+L2n+12 ②(1+2n+1)(n+1)22=(n+1)①中運(yùn)用了增減放縮法,② 數(shù)列{an}滿足a1=1且an+1=231。1+232。230。1246。(n179。1) a+247。n2nn+n248。21(Ⅰ)用數(shù)學(xué)歸納法證明an179。2(n179。2)；(Ⅱ)已知不等式ln(1+x)x對x：(Ⅰ)用數(shù)學(xué)歸納法證明,略；(Ⅱ)用遞推公式及(Ⅰ)的結(jié)論有 an+1=231。1+232。230。111246。246。230。a+163。1++247。231。247。an,(n179。1) n2n2nn+n248。2n+n2248。232。1 兩邊取對數(shù)并利用已知不等式得： lnan+1163。ln231。1+232。230。1n+n1n+n1n+n222+1246。247。+lnann2248。+12+n163。lnan+n \lnan+1lnan163。12,(n179。1)上式從1到n1求和可得： \lnan+1lnan163。11180。2+12180。3+L+1n(n1)+12+122+L12n1=11230。11246。+231。247。2232。23248。1n12n1230。1246。231。1n247。112232。2248。+L++1n1n12=1+12 11 數(shù)列不等式的證明在數(shù)列不等式的證明中,我們大量采用放縮法,“疊加”模型的數(shù)列不等式,可以利用放縮法對疊加的數(shù)列進(jìn)行化簡,“疊加”模型指的是形如：a1+a2+L+an163。f(n),這里的163。也可以是179。、或.例15 已知n179。2,n206。N,證明122+132+L+1n2163。n1n證明：Q122112132=11112；=121323；?? 1n21n(n1)=1n11n；各式相加,得：122+132+L+1n211n163。n1n*例16 若Sn=1+12+13+L+1n,n206。N求證：2(n+11)Sn2n證明：Q1k=2k+1kk2k+2k+kk1=2(kk1) 又Q=2k+k+1=2(k+1k) 當(dāng)k=1,2,3,L,n1,n時(shí), 2(21) 2(32) ??11122((10)221)淺談?dòng)梅趴s法證明不等式 12 2(nn1) 2(n+1n)1n11n22(n1n2)(nn1) 將上式相加,得到：2(n+11)Sn,放縮的主要目的是使不等式裂項(xiàng)相消,也可以組成等差、等比數(shù)列,利用公式求和,或者運(yùn)用根式有理化后的放縮,探索n項(xiàng)相加的遞推式, 調(diào)整放縮量的大小放縮量的大小,即放縮的“精確度”,縮小多少,把握“度”的火候, 已知Sn=1+(Ⅰ)Sn179。12+13+L+1n,求證：n；(Ⅱ)Sn2(n+11)；(Ⅲ)Sn：(Ⅰ)Sn=1+1n12+13+L+1n1n 179。+1n+L+1n=n=n；(Ⅱ)是(Ⅰ)的加強(qiáng)不等式,為此需調(diào)整放縮幅度, Q1k=22k=2