用均值不等式證明不等式[最終定稿](編輯修改稿)
2025-10-28 10:42 本頁面
【文章內容簡介】 不等式證明”，是說只能用均值不等式不能穿插別的途徑?!二、已知abc，求證：1/(ab)+1/(bc)+1/(ca)0ac=(ab)+(bc)≥2√(ab)*(bc)于是ca≤2√(ab)*(bc)即：1/(ca)≥1/【2√(ab)*(bc)】那么1/(ab)+1/(bc)+1/(ca)≥1/(ab)+1/(bc)1/【2√(ab)*(bc)】≥2/【√(ab)*(bc)】1/【2√(ab)*(bc)】=(3/2)/【2√(ab)*(bc)】0三、調和平均數(shù)：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)幾何平均數(shù)：Gn=(a1a2...an)^(1/n)算術平均數(shù)：An=(a1+a2+...+an)/n平方平均數(shù)：Qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n這四種平均數(shù)滿足Hn≤Gn≤An≤Qn的式子即為均值不等式。概念：調和平均數(shù)：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)幾何平均數(shù)：Gn=(a1a2...an)^(1/n)算術平均數(shù)：An=(a1+a2+...+an)/n平方平均數(shù)：Qn=√這四種平均數(shù)滿足Hn≤Gn≤An≤Qnaa…、an∈R+，當且僅當a1=a2=…=an時勸=”號均值不等式的一般形式：設函數(shù)D(r)=^(1/r)(當r不等于0時)。(a1a2...an)^(1/n)(當r=0時)(即D(0)=(a1a2...an)^(1/n))則有：當r注意到Hn≤Gn≤An≤Qn僅是上述不等式的特殊情形，即D(1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)由以上簡化，有一個簡單結論，中學常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√方法很多，數(shù)學歸納法(第一或反向歸納)、拉格朗日乘數(shù)法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用數(shù)學歸納法證明，需要一個輔助結論。引理：設A≥0，B≥0，則(A+B)^n≥A^n+nA^(n1)B。注：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A+B≥0,有興趣的同學可以想想如何證明(用數(shù)學歸納法)。原題等價于：((a1+a2+…+an)/n)^n≥a1a2…an。當n=2時易證。假設當n=k時命題成立，即((a1+a2+…+ak)/k)^k≥a1a2…ak。那么當n=k+1時，不妨設a(k+1)是a1，a2，…，a(k+1)中最大者，則ka(k+1)≥a1+a2+…+ak。設s=a1+a2+…+ak，{/(k+1)}^(k+1)={s/k+/}^(k+1)≥(s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k/k(k+1)用引理=(s/k)^k*a(k+1)≥a1a2…a(k+1)。用歸納假設下面介紹個好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函數(shù)f(x)，x1,x2,...xn是函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內的任意n個點，則有：f≥1/n*設f(x)=lnx，f(x)為上凸增函數(shù)所以，ln≥1/n*=ln即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)在圓中用射影定理證明(半徑不小于半弦)。第四篇：不等式證明,均值不等式設a,b206。R，求證：ab179。(ab)+aba+b2179。abba已知a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)＞6abc(a+b+c)(1119
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